Çemberde Açı ve Uzunluk

  • TEĞET – KİRİŞ ÖZELLİKLERİ

1. Teğet noktasından ve çemberin merkezinden geçen doğru, teğet olan doğruya diktir.AB doğrusu T noktasında çembere teğet

AB ^ OTTeğet doğrusuna, teğet noktasından çizilen dik doğru çemberin merkezinden geçer.

geo 131 Çemberde Açı ve Uzunluk 2. Çemberin dışındaki bir noktadan çembere çizilen teğetlerin uzulukları birbirine

eşittir.

[PA ve [PT

çembere teğet

|PA| = |PB|geo 132 Çemberde Açı ve Uzunluk

geo 133 Çemberde Açı ve Uzunluk

[PT ve [PS çembere teğet ve O çemberin merkezi ise [PO, TPS açısının açıortayıdır.

|OT| = |OS| ve [PT] ^ [TO], [PS] ^ [SO] olduğundan PTOS dörtgeni bir deltoid tir.

  • İçten ve dıştan teğet çemberlerde merkezleri birleştiren doğru teğet noktasından geçer.

O1 ve O2 merkezli çemberler T noktasında dıştan teğet ise, merkezleri birleştiren doğru T noktasından geçer.geo 134 Çemberde Açı ve Uzunluk

Aynı özellik içten teğet çemberler için de geçerlidir.O1 , O2 ve T noktaları aynı doğru üzerindedir.geo 135 Çemberde Açı ve Uzunluk

3. Bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar.geo 136 Çemberde Açı ve Uzunluk

Bir çemberde, merkeze uzaklıkları eşit olan kirişlerin uzunlukları da eşittir.

|OF|=|OE|Û|AB|=|CD|geo 137 Çemberde Açı ve Uzunluk

Bir çemberde herhangi iki kirişten merkeze yakın olanı daha büyüktür.

|OH|<|ON|Û|AB|>|CD|geo 138 Çemberde Açı ve Uzunluk

4. Bir çemberde eşit uzunluktaki kirişlerin gördüğü yaylarda eşittir.

geo 139 Çemberde Açı ve Uzunluk

geo 1310 Çemberde Açı ve Uzunluk geo 1311 Çemberde Açı ve Uzunluk

5. Bir çemberde paralel iki kiriş arasında kalan yaylar eşittir.

geo 1312 Çemberde Açı ve Uzunluk geo 1313 Çemberde Açı ve Uzunluk

Bir çember içinde alınan herhangi bir P noktasından geçen en kısa kiriş, orta noktası P olan kiriştir.

[AC] ^ [PO]geo 1314 Çemberde Açı ve Uzunluk

  • TEĞETLER DÖRTGENİ

1. Bir çembere teğet dört doğru parçasının oluşturduğu dörtgene teğetler dörtgeni denir. ABCD dörtgeninde K, L, M, N teğetlerin değme noktasıdır.

geo 1315 Çemberde Açı ve Uzunluk

2. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı eşittir.

a+c=b+dgeo 1316 Çemberde Açı ve Uzunluk

3. Teğetler dörtgeninin alanı; içteğet çemberin yarıçapı ile çevresinin çarpımının yarısıdır.

geo 1317 Çemberde Açı ve Uzunluk geo 1318 Çemberde Açı ve Uzunluk

  • KİRİŞLER DÖRTGENİ

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamının 180° dir.

Dörtgeninin alanı;

geo 1319 Çemberde Açı ve Uzunluk

A(ABCD)=Ö(u – a)(u – b)(u – c)(u – d)

geo 1320 Çemberde Açı ve Uzunluk KUVVET

1. Çemberin Dışındaki Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti

[PT, T noktasında çembere teğet, [PB ve [PD çemberi

kesen ışınlar

Kuvvet = |PT|2 = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|geo 1321 Çemberde Açı ve Uzunluk 2. Çemberin İçindeki Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti

Bir çemberin içindeki bir noktada kesişen iki kiriş üzerinde, kesim noktasının ayırdığı parçaların uzunlukları çarpımı

sabittir.

Kuvvet = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|geo 140 Çemberde Açı ve Uzunluk

  • Çemberin üzerindeki bir noktanın çembere göre kuvveti sıfırdır

3. İki Çemberin Kuvvet Ekseni

Kuvvet ekseni üzerindeki noktaların her iki çembere göre kuvvetleri eşittir.

a. Dıştan teğet iki çemberin kuvvet ekseni teğet noktasından geçer. Kuvvet ekseni çemberin merkezlerini birleştiren doğruya teğet noktasında diktir. |O1O2| = r1 + r2

geo 141 Çemberde Açı ve Uzunluk

b. İçten teğet çemberlerin kuvvet ekseni teğet noktasından geçer. Kuvvet ekseni merkezlerden geçen doğruya teğet noktasında diktir. |O1O2| = r1 – r2

geo 142 Çemberde Açı ve Uzunluk

c. Kesişen çemberlerde kuvvet ekseni çemberlerin kesişim noktalarından geçer ve merkezleri birleştiren doğruya diktir. |O1O2| < r1 + r2

geo 143 Çemberde Açı ve Uzunluk

şekildeki P noktasının A noktasında birbirine dıştan teğet olan O1 ve O2 merkezli çemberlere uygulamış olduğu kuvvetler eşittir.

|PB|=|PA|=|PC| Û |BA]^[AC]geo 144 Çemberde Açı ve Uzunluk

  • Yarıçapları kesişim noktalarında dik olan çemberlere dik kesişen çemberler denir.

d. Kesişmeyen çemberlerin ortak noktası yoktur. Kuvvet ekseni iki çemberin arasında ve çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya diktir. |O1O2| > r1 + r2

geo 145 Çemberde Açı ve Uzunluk 4. Ortak Teğet Parçasının Uzunluğu

geo 146 Çemberde Açı ve Uzunluk

Ortak teğet uzunluğunun bulunabilmesi için merkezlerden teğetlere dikler çizilir.

O1O2C dik üçgeninde |CO2| = |AB|

|AB|2 =|O1O2|2 - |r1-r2|2

5. Bir Doğru İle Bir Çemberin Durumları

Aynı düzlemde bulunan O merkezli r yarıçaplı bir çember ile d doğrusu üç farklı durumda bulunur.

a. |OH| > r ise

doğru çemberi kesmez ve doğru çemberin dışındadır.

Çember Ç d = Æ

geo 147 Çemberde Açı ve Uzunluk

b. |OH| = r ise

doğru çemberi bir noktada keser. Yani doğru çembere teğettir.

Çember Ç d = {H}

geo 148 Çemberde Açı ve Uzunluk

c. |OH| < r ise

doğru çemberi iki noktada keser.

Çember Ç d = {A, B}

geo 1322 Çemberde Açı ve Uzunluk

kaynak:sanaldershane den alıntıdır.