Ders Anlatım Eğitim Blogu,Öss,Sbs,Dersler

fizik, kimya, biyoloji, ingilizce, öss, sbs, öğretmenler

Kısaca şunlar yapılmalıdır.

1) Soruyu içeren konu ve formüller bilinmelidir.

2) Önceden yeterince örnek soru çözülmelidir.

3) Sorunun çözümü için verilen tüm bilgiler şekle yerleştirilmelidir.

4) Açı sorularında ikizkenar üçgen varsa, tepe açısı tespit edilip, taban açılarının aynı olduğu şekle yazılmalıdır.

5) Bir şekilde 30o, 45o, 60o, 150o, 145o, 120o varsa uygun bir köşeden dik indirilerek sorular çözülebilir.

6) İkizkenar üçgen, eşkenar üçgen, ikizkenar yamuk sorularında tepe açılarından dik indirilerek sorular kolay çözülebilir.

7) İki kenarı paralel olan bir dörtgen sorusunda bir köşeden paralel olamayan kenara paralel çizilerek soru kolayca çözülebilir.

8) Yeni öğrenilen her konu mutlaka akşam tekrar edilmeli, hafta içi ve hafta sonunda birer tekrar yapılırsa konu uzun zaman hafızamızda saklı kalır.

9) Başarmak istediğiniz bir konuda samimi iseniz, onu mutlaka başarırısınız.

1.Dik Prizmalar ve Özellikleri

Tabanları herhangi bir çok gensel bölge olan yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerden meydana gelen cisimlere dik prizma denir. Prizmalar tabanlarına gore dikdörtgenler prizması,kare dik prizma,üçgen dik prizma,yamuk dik prizma diye adlandırılırlar.

Dik Prizmanın özellikleri:

1.Tabanları eş ve paraleldir.

2.Yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerdir.

3.Her bir köşede kesişen ayrıtları birbirine diktir.

4.Yan ayrıtları aynı zamanda yüksekliktir.

5.Tabanları düzgün çokgensel olan dik prizmalara düzgün dik prizma denir.

2.Dik Prizmanın alanlarını ve hacimlerini hesaplama 2.1.Dikdörtgenler prizması Tanım: Tabanları dikdörtgensel bölge olan dikprizmaya dikdörtgenler prizması denir.

 

Özellikleri:

1. 6 yüzü 12 ayrıtı ve 8 köşesi vardır.

2. Karşılıklı yüzleri birbirine parallel ve alanları eşittir.

3. Karşılıklı ayrıtları dörder dörder parallel ve uzunlukları eşittir.

4. Bir köşeden çıkan ayrıtlara prizmanın boyuları denir.Bu boyutlar en boy ve yüksekliktir.

5. Bir yüze ait karşılıklı iki köşeyi birleştiren doğru parçasına yüz köşegeni denir.

6. Aynı yüze ait olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir. Dikdörtgenler Prizmasının Alanı: Taban alanı, Ta=a.b Yanal alanı:Ya=Ç.h=2(a+b).c

Not: Dikdörtgenler prizmasının yanal alanı,taban çevresinin uzunluğu ile yan ayrıtının çarpımına eşittir.

Bütün alan: A=2.Ta+Ya , A=2(a.b)+2(a+b).c A=2(ab+ac+bc) olarak yazılır .
Not: Dikdörtgenler prizmasının alanı,bir köşeden çıkan üç ayrıtının ikişer ikişer çarpımlarının toplamlarının iki katına eşittir.

Konik kesit, eliptik veya dairesel bir çift taraflı koninin, düzlemle kesitinden meydana gelen eğriler. Bunlar; daire, elips, parabol ve hiperboldür.

Elips

Aralarındaki mesafe 2a olan ve odak noktaları denen iki noktaya uzaklıkları toplamı, sabit 2a’ya eşit olan noktaların geometrik yeridir. Elips oval bir eğri olup, iki dik simetri ekseni mevcuttur. Bunlar, bir M noktasında kesişirler. Bu eksenler koordinat takımı olarak alınırsa, elipsin denklemi; b² = a² – c² olmak üzere x²/a² + y²/b² = 1 şeklinde belirir. Eğer c=0 olursa, odaklar birbiriyle çakışır ve elips yarıçapı a=b eşit olan bir çembere dönüşür.

Hiperbol

Hiperbol, belirli iki noktaya olan mesafelerinin farkı, sabit 2a’ya eşit olan noktaların geometrik yeridir. Bu sabit noktalar, hiperbolün odak noktaları olarak isimlendirilir ve ara mesafesi 2c olarak gösterilir. Hiperbolün iki ayrı kolu mevcut olup, birbirine dik iki simetri ekseni mevcuttur. Bu eksenlere göre hiperbolün denklemi, b² = a² – c² olmak üzere x² / a² – y² / b² = 1 olarak yazılır. y=± bx/a doğruları hiperbolün asimptotlarıdır.

Parabol

Parabol, belirli bir noktaya ve bir doğruya uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yeridir. Bu belirli noktaya parabolün odak noktası denir. Bu noktadan doğruya çizilen dik doğru, parabolün simetri eksenini teşkil eder. Parabolün bu eksene ve tepe noktasından geçen dik eksene göre denklemi y² = 2px olarak belirir.

Koniklerin genel denklemi: Dik x ve y koordinat ekseninde ikinci dereceden genel bir denklem;

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0 olarak belirir. Eğer A,C ve F katsayılarının hepsi birden sıfır değilse bu bir konik kesitini gösterir. Ancak bu halde konik kesiti yanında birbirini kesen iki doğru veya iki paralel doğru, üst üste bulunan iki doğruyu da kapsar. Bunlar b² x² – a² y² = 0 (x+a)= 0 veya x² = 0 olabilir. Ayrıca koniğin, x² / a² + y² / b² = -1 gibi sanal da (izafi de) olabilir ve x ve y koordinat ekseninde gösterilmez. İki konik en fazla dört noktada kesişir.

İkinci dereceden işlevlerin grafikleri de birer paraboldür. Genel olarak f(x) = ax² + bx + c şeklinde ifade edilir. Tepe noktası T(r,k) hesaplanırken bu noktanın kordinatları, r= -b/2a , k=f(r) olarak bulunur.

Parabol, bir düzlemde alınan sabit bir d doğrusu ile sabit bir F noktasından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri. Sabit F noktasına parabolün odağı, d doğrusuna da parabolün doğrultmanı denir. AF doğrusuna parabol ekseni denir. Parabol, bu eksene göre simetrik iki koldan ibarettir. Parabole ait herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasına kiriş; odakta eksene dik olan (MN) kirişinin yarısına parametre denir ve p ile gösterilir. Parabolün, ekseni kestiği noktaya (A noktasına) köşe adı verilir. Parabol üzerindeki her noktanın odak noktasına olan uzaklığı, doğrultmana olan uzaklığına eşittir. Yani |MF|= |ML|’dir. Parabolün simetri ekseni X ekseni ve A köşesi (0,0) noktası (yani başlangıç noktası) alınırsa parabolün standart denklemi y² = 2px olur (p parabolün parametresidir). Odağın koordinatları F(p/2, 0) olur. Doğrultman denklemi X = p/2 şeklinde olur. Eğer parabol eksenini OX ekseni değil de OY ekseni olarak alınırsa ve köşesi de yine O(0,0) noktası olursa Parabolün denklemi x² = 2py olur. Doğrultman denklemi y = -p/2’dir.

Tarihi Gelişimi

İlk koni ile ilgilenen M.Ö. 350 civarında Menaechmus olmuştur. Bu konuda ilk kitap M.Ö. 320’de Euclid tarafından yazıldığı tahmin edilmektedir. Günümüze kadar gelen kitap M.Ö. 225’ten, Apollonius’un Konikler kitabıdır. Arşimet (M.Ö 287-212), konikleri tanımaktaydı ve çalışmalarında bunları kullanmıştır. Abbasi alimlerinden Beni Musa’nın konikler üzerine yazdığı Kitab-ül-Mahrutat kitabı meşhurdur. Ebu Sa’id-el-Siczi ise koni kesitlerini incelemiştir.

Konik kelimesi, Apollonius tarafından verilmiştir.%2

Hiperbolik geometri Öklid geometrisinden bir belitle ayrılır. Öklit’in paralellik belitinin tersini doğru olarak kabul eden geometride bir doğrunun dışındaki bir noktadan birden çok (sonsuz) tane paralel doğru geçebilir. Ayrıca bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman iki tane dik açıdan küçüktür.

Modeller

Bu geometri, öklit uzayının bir altuzayı olarak düşünülebilir. Bu durumda hiperbolik geometri aslında çift yanaklı bir hiperboloitin bir yanağının yüzeyindeki geometri olarak alınabilir. Bu çanak yüzeyini bir düzleme izdüşümleyerek çeşitli modeller oluşturulabilir.

Klein-Beltrami Modeli

Eğer dik izdüşüm yapılırsa Klein-Beltrami modeli elde edilir. Bu modelde hiperbolik düzlem bir dairenin içindeki Öklitçi noktalardan oluşur ve “doğrular” sınır çemberin kirişleridir. Çemberin üzerindeki noktalar geometriye dahil olmayacağından burada kesişen iki kiriş aslında paralel olacaktır, bu kirişlere yakınsak paralel doğru denir. Eğer tamamen ayrık iki kiriş ise sadece paralel ya da bazen paralel ötesi doğrular denir.

Poincaré Disk Modeli

Eğer hiperboloide stereografik izdüşüm uygulanırsa bu sefer oluşturulan modele Poincaré disk modeli denir. Burada geometri yine bir çemberin içinde kalan noktalardan oluşacaktır ancak doğrular bu çembere dik olan çember yayları olacaktır. Bu izdüşümün en önemli özelliği açıları ve çemberleri korumasıdır. Bu modelin analitik geometrisi için Hilbert, uçlar aritmetiğini geliştirmiştir.

Poincaré Yarı-Düzlem Modeli

Eğer hiperboloit XY düzlemine dik olan bir düzleme izdüşümlenirse, oluşan model Poincaré yarı-düzlem modelidir. Bu modelde hiperboloit düzlemin belli bir doğrusunun yarattığı bir yarısındaki noktalara eşlenmiştir ve doğrular bu ayıran doğruya dik olan ya öklitçi ışınlardır ya da çember yaylarıdır .








 

EULER FORMÜLÜ: 

Bir çok yüzlü için;

Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayırt Sayısı=2 dir.

Her bir çokyüzlü için K + YA sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. Bu tüm konveks(dışbükey)  çokyüzlüler için geçerli bir özelliktir.Bu bağıntıya Euler Teoremi ya da Formülü denir.

8. sınıf ders kitaplarımızda görev olarak verilen  Euler formülü budur.Bir kaç örnekle formülün doğruluğunu kontrol edlim….

  Köşe Sayısı:4

Yüzey Sayısı:4

Ayrıt Sayısı:6 

4+4-6=2
   Köşe Sayısı:8

Yüzey Sayısı:6

Ayrıt Sayısı:12

 8+6-12=2
   Köşe Sayısı:6

Yüzey Sayısı:8

Ayrıt Sayısı:12

 6+8-12=2
   Köşe Sayısı:20

Yüzey Sayısı:12

Ayrıt Sayısı:30

 20+12-30=2

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren üç doğru parçasının birleşimine üçgen denir.

AB] È[AC]È [BC] = ABC dir.  

Burada;

  A, B, C noktaları üçgenin

 köşeleri,

[AB], [AC], [BC] doğru parçaları üçgenin

 kenarlarıdır.

BAC, ABC ve ACB açıları üçgenin iç açılarıdır.  

|BC| = a, |AC| = b, |AB| = c

uzunluklarına üçgenin kenar uzunlukları denir. iç açıların bütünleri olan açılara dış açılar denir. 

 

ABC üçgeni bir düzlemi; üçgenin kendisi, iç bölge, dış bölge, olmak üzere üç  bölgeye ayırır. ABC È {ABC iç bölgesi} = (ABC) (üçgensel bölge)
  • ÜÇGEN ÇEŞiTLERi

1. Kenarlarına göre üçgen çeşitleri

a. Çeşitkenar üçgen 

Üç kenar uzunlukları da farklı olan üçgenlere denir.

 

b. ikizkenar Üçgen 

Herhangi iki kenar uzunluklarıeşit olan üçgenlere denir.

 

c. Eşkenar Üçgen 

Üç kenar uzunluklarıda eşit olan üçgenlere denir.

 

2. Açılarına göre üçgenler

a. Dar açılı üçgen 

Üç açısının ölçüsü de 90° den küçük olan üçgenlere dar açılıüçgen denir.

 

b. Dik açılı üçgen 

Bir açısının ölçüsü 90° ye eşit olan üçgenlere denir. 

Dik üçgen olarak adlandırılır.

c. Geniş açılı üçgen 

Bir açısının ölçüsü 90° den büyük olan üçgenlere denir.

Bir üçgende bir tek geniş açı olabilir.

 

  • ÜÇGENİN TEMEL ve YARDIMCI  ELEMANLARI

Üçgenin kenarları’ na ve açıları’ na temel elemanlar, Yükseklik, kenarortay ve açıortaylarına yardımcı elemanlar denir.

1. Yükseklik 

Bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.

ha   ®   a kanarına ait yükseklik.

hc   ®   c kenarına ait yükseklik

yüksekliklerin kesim noktasına üçgenin Diklik Merkezi denir.

 

2. Açıortay

Üçgenin bir köşesindeki açıyıiki eş parçaya ayıran ışına o köşenin açıortayıdenir.

nA  ®  A köşesine ait iç açıortay  

n‘A ®   A köşesine ait dış açıortay

 

3. Kenarortay

Üçgenin bir kenarının orta noktasını karşısındaki köşe ile birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.

|AD| = Va , |BE| = Vb  olarak ifade edilir.

 

Dik üçgende, hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.

|BC| = a (hipotenüs) 

 

ÜÇGENDE AÇI ÖZELLİKLERİ

1. Üçgende iç açıların ölçüleri toplamı180° dir.

[AD // [BC] olduğundan,

iç ters ve yöndeş olan açılar bulunur.

a + b + c = 180°

m(A) + m(B) + m(C) = 180°

Üçgenin iç açılarının toplamı180° dir.

İç açılara komşu ve bütünler olan açılara dış açı denir.

2. Üçgende dış açıların ölçüleri toplamı360° dir.

a’ + b’ + c’ = 360°

m(DAF)+m(ABE)+m(BCF)=360°

 

3. Üçgende bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.

[AB] // [CE olduğundan

 

m(ACD)=a+b

 

m(DAC) = m(A’) = b + c

m(DBE) = m(B’) = a + c

m(ECF) = m(C’) = a + b

Yandaki şekilde a, b, c bulundukları açıların ölçüleri ise,

 

m(BDC) = a+b+c

 

4. iki kenarı eş olan üçgene ikizkenar üçgen denir.ABC üçgeninde:

 

lABl=lACl Û m(B)=m(C)

 

Burada A açısına ikizkenar üçgenin tepe açısı, [BC] kenarına ise tabanıdenir.

Tepe açısına m(BAC) = a dersek

Taban açıları

 

5. Üç kenarıeş olan üçgene eşkenar üçgen denir.

ABC üçgeninde

|AB| = |BC| = |AC|

m(A) = m(B) = m(C) = 60°

Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgenin bütün özelliklerini taşır.

 

  • ÜÇGENDE AÇIORTAYLAR

1. Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin içteğet çemberinin merkezidir.

Açıortayların kesiştiği noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunluklarıeşittir. (Çemberin yarıçapı)

2. Üçgende iki dış açıortay ile üçüncü iç açıortay bir noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin dıştan teğet çemberlerinden birinin merkezidir. (Üç dış teğet çember vardır.)

[AD], [BD] ve [CD] açıortaylarından herhangi ikisi verildiğinde üçüncüsünün de kesinlikle açıortaydır.

3. iki iç açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninde ve BDC üçgeninde iç açılar toplamı  yazılırsa

 

4. iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı; ABC üçgeninin dış açılar toplamıve BDC üçgeninin iç açılar toplamını yazarsak

 

5. Bir iç açıortay ile bir dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açı,

ABC üçgeninin C açısının dış açıortayı ile B açısının iç açıortayı arasındaki açının ölçüsü A açısının ölçüsünün yarısıdır.

 

  • Burada D noktası dış teğet çemberlerden birinin merkezi olduğundan, A dan çizilen dış açıortayda D noktasından geçer.

6. Açıortayla yükseklik arasında kalan açı; ABC üçgeninde [AD] A açısına ait açıortay ve [AH] yüksekliktir.

Açıortayla yükseklik arasındaki açıya m(HAD) = x dersek

 Bir açı ve açıortayını başka bir doğrunun kestiği durumlarda dış açı özelliği kullanılarak bütün açılar bulunabilir.

1. Çokgen

Bir düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan A1, A2, A3, … gibi n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı şekillere çokgen denir.

a. İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir.

 

b. Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir.dışbükey çokgen

 

c. Çokgenlerin elemanları

  • A, B, C, D, E noktalarına çokgenin köşeleri denir. Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır.
  • İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir.
  • İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir.
  • Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir.

 

2. Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

a. İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı

(n – 2) . 180°

Üçgen için (3 – 2) . 180° = 180°

Dörtgen için (4 – 2) . 180° = 360°

Beşgen için (5 – 2) . 180° = 540°

b. Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde,

Dış açılar toplamı =360°

c. Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin

Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir.

  • n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde, bir köşeden köşegenler çizilerek
    (n – 2) adet üçgen elde edilebilir.

 

3. Düzgün Çokgenler

Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

 

a. şekildeki düzgün altıgende olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer. Bu çembere çevrel çember denir.

b. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler birbirine eşittir.

 

|AC|=|AE|=|BD| |AD|=|AD|=||

c. Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenlerde karşılıklı kenarlar paraleldir.

[AF] // [CD], [AB] // [ED]….[AH] // [DE], [AB] // [FE]…

d. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenlerde karşı kenara çizilen dik karşı kenarı ortalar. Köşeden kenarın ortasına çizilen doğru parçası kenara diktir şeklinde de ifade edilir.

e. n kenarlı düzgün bir çokgende

f. Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360° olduğundan düzgün çokgenin bir dış açısı

 

4. Düzgün Çokgenin Alanı

a. n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı 

b.n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı

(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı

 

 

  • Düzgün altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur.

Bir kenarına a dersek

 

 

  • DÖRTGENLERİN GENEL ÖZELLİKLERİ
1. Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının oluşturduğu açının ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.

 

2. Bir dörtgende karşı iki açının açıortayları arasındaki dar açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri farkının mutlak değerinin yarısına eşittir. 

3. Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsü

bilinen dörtgenin alanı;

ABCD dörtgeninde [AC] ve [BD] köşegen uzunlukları ile a

biliniyor

 

 

  • Köşegenleri birbirine dik olan dörtgenlerde
  • (sin 90° = 1 olduğundan)

 

 

  • Köşegen doğruları birbirine dik ise

 

 

4. Köşegenleri ve köşegenlerinin arasındaki açısının ölçüsü bilinen içbükey dörtgenin alanı;[AC] ve [BD] köşegenleri ile köşegen doğruları arasındaki a biliniyor ise ABCD içbükey dörtgeninin alanı;

 

 

5. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerin kenarları arasındaki bağıntı; ABCD dörtgeninde
[AC] ^ [BD]

Köşegenleri dik olan dörtgenlerin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı eşittir.

  • Köşegenleri dik içbükey dörtgenlerde de karşılıklı kenarların kareleri toplamı eşittir.

ABCD dörtgeninde

 

6. Dörtgenlerde köşegenlerin ayırdığı alanlar; ABE ve ADE üçgenlerinin yükseklikleri eşit olduğundan alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir.

 

7. Dörtgenlerde kenarların orta noktalarının birleştirilmesiyle oluşan paralelkenar; ABCD dörtgeninde kenarların orta noktaları birleştirilerek oluşan KLMN dörtgeni paralelkenardır. Paralelkenarın alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir.[KL] // [BD] // [MN] ve |KL| = |MN| =

[LM] // [AC] // [KN] ve |LM| = |KN| =

  • Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde, kenarların orta noktaları birleştirilerek elde edilen dörtgen, dikdörtgendir.

[AC] ^ [BD] ve K, L, M, N kenarların orta noktaları ise KLMN dikdörtgendir.

1. Benzer Üçgenler
Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenler denir.

ABC ve DEF üçgenleri için;
oranı yazılır Buradan ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzerdir denir ve
ABC ~ DEF biçiminde gösterilir.
eşitliğinde verilen k sayısına, benzerlik oranı yada benzerlik

katsayısı denir.

  • k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan, bu üçgenlere eş üçgenler denir.

ABC ~ DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir.

2. Açı – Açı Benzerlik Teoremi
Karşılıklı ikişer açıları eş olan üçgenler benzerdir.

şekilde verilen üçgenlerde

İkişer açıları eş olduğundan, üçüncü açıları da eş olmak zorundadır. Dolayısıyla bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.
m(C)=m(F)

3. Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise, üçgenler benzerdir.

ABC üçgeni ile DEF üçgeninin BAC ve EDF açıları eş, bu açıların kenarları da orantılı ise, bu iki üçgen benzerdir.
BAC açısının kısa kenarının EDF açısının kısa kenarına oranı, BAC açısının uzun kenarının EDF açısının uzun kenarına oranına eşittir.

4. Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Teoremi
İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir.

Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir.
m(A) = m(D),
m(B) = m(E),
m(C) = m(F)

5. Temel Benzerlik Teoremi
ABC üçgeninde [DE] // [BC] ise yöndeş açılar eş
olacağından ADE ~ ABC dir.

  • Ağırlık merkezinden çizilen paralel doğru kenarları 1birime 2 birim oranında böler. ABC üçgeninde G ağırlık merkezi ve [KL] // [BC]
    |AK|=2|KB|
    |AL|=2|LC|

6. Tales Teoremi
Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda
bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için
Buradan de elde edilir

  • [AB] // [DE] ise oluşan içters açıların eşitliğinden, ABC ~ EDC olur. Buradan,
    eşitliği elde edilir. Buna kelebek benzerliği de denir.

7. Benzerlik Özellikleri
Benzer üçgenlerin açıları karşılıklı olarak eş, diğer bütün elemanları orantılıdır.

ABC ~ DEF Û Burada k ya benzerlik oranı denir.
a. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlik oranına eşittir.

b. Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait kenar-ortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

c. Benzer üçgenlerde eş açılara ait açıortay uzunluklarının oranı benzerlik oranına eşittir.

d. Benzer üçgenlerin çevrelerinin oranı benzerlik oranına eşittir.

e. ABC üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rABC ve çevrel çemberin yarıçapı RABC , DEF üçgeninde içteğet çemberin yarıçapı rDEF ve çevrel çemberin yarıçapı RDEF olsun.

f. Alanlar oranı
Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.

g. Benzerlik oranı k = 1 olan üçgenler eş üçgenlerdir.

  • Kenarları eşit aralıklı paralellerle bölünmüş olan üçgenlerde alanlar 1, 3, 5, 7 � gibi tek sayılarla orantılı olarak artar.

  • [AB] // [EF] // [DC] benzerlik özelliklerinden,


|AB|.|FC|=|DC|.|BF|


8. Özel Teoremler
a. Menelaüs
ABC üçgeni KM doğru parçası ile şekildeki gibi kesiliyor ise
b. Seva
ABC üçgeni içerisinde alınan bir P noktası için,

Yamuk Alt ve üst kenarları paralel olan dörtgenlere yamuk denir.
Şekildeki ABCD yamuğunda [AB] // [DC] dir.
 
1. Yamukta açılar
[AB] // [DC] olduğundan
x + y = 180°
a + b = 180°

  • Karşılıklı iki kenarı paralel olan dörtgenlerde açıortay verilmiş ise ikizkenar üçgen elde edebileceğimiz gibi, ikizkenarlık verilmiş ise de açıortay elde ederiz.


2. Yamuğun Alanı
ABCD yamuğunda paralelkenarlar arasındaki uzaklığa yamuğun yüksekliği denir. Alt tabanı |DC| = a,
üst tabanı |AB| = c
yüksekliği |AH| = h
ABCD yamuğunun alanı

3. İkizkenar Yamuk
Paralel olmayan kenarları eşit olan yamuklara ikizkenar yamuk denir.
a. İkizkenar yamukta taban ve tepe açıları kendi aralarında eşittir.
m(A) = m(B) = y
m(D) = m(C) = x

b. İkizkenar yamukta köşegen uzunlukları eşittir. Köşegenlerin kesiştiği noktaya E dersek
|AE| = |EB|
|DE| = |CE|

  • Köşegen uzunlukları birbirine eşit olan her yamuk ikizkenardır.

c. İkizkenar yamukta üst köşelerden alt tabana dikler çizilmesiyle ADK ve BCL eş dik üçgenleri oluşur. |DC| = a
|KL| = c

 
4. Dik Yamuk
Kenarlarından biri alt ve üst tabana dik olan yamuğa dik yamuk denir.
|AD| = h aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.
 
5. Yamukta Orta Taban
a. ABCD yamuğunda E ve F kenarların orta noktaları ise EL doğrusuna orta taban denir.
[AB] // [EF] // [DC]

Yamuğun alanı
olduğundan A(ABCD)=Orta taban x Yükseklik b. Yamukta köşegenin orta tabanda ayırdığı parçalar

  • ABCD yamuğunda EF orta taban


6. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktasından tabanlara çizilen paralel;
ABCD yamuğunda L köşegenlerin kesim noktasıdır.
[AB] // [MN] // [DC]

 
7. Kenar Uzunlukları Bilenen Yamuk
Bir ABCD yamuğunun kenar uzunlukları biliniyor ise kenarlardan birine paralel çizilerek bir paralelkenar ve bir üçgen oluşturulur. 8. Köşegenleri Dik Kesişen Dik Yamuk
ABCD dik yamuğunda
[AC] ^ [BD] BD ye paralel çizildiğinde oluşan dik üçgende
h2=a.c
9. Köşegenleri Dik Kesişen İkizkenar Yamuk
ABCD yamuğunda
|AD| = |BC|
[AC] ^ [BD]
yamuğun yüksekliği


10. Yamukta Köşegenlerin Ayırdığı Parçaların Alanı Herhangi bir yamukta köşegenler çizildiğinde
[AB] // [DC]

A(ABCD)=A(BCE)=S


Bir yamukta alt ve üst iki köşenin, karşı kenarın orta noktası ile birleştirilmesi sonucu oluşan alan yamuğun
alanının yarısına eşittir.
|BE| = |EC|
A(ABCD) = 2A(ADE)
l [AB] // [EF] // [DC], |AB| = a
|EF| = b
|DC| = c
A(ABFE) = S2
A(EFCD) = S1

 

O merkezli ve r yarıçaplı bir dairede
Dairenin Alanı = pr2

Dairenin Çevresi = 2pr
 
2. Daire Diliminin Alanı ve Yay Parçasının Uzunluğu
O merkezli dairede m(AOB) = a olacak şekilde taralı dairediliminin alanı,



3. Daire Kesmesinin Alanı

O merkezli dairede taralı alan, daire diliminin alanından
BOA üçgeninin alanının çıkarılması ile bulunur.


4. Daire Halkasının Alanı
O merkezli r1 ve r2 yarıçaplı çemberler arasında k dairenin alanının çıkarılması ile bulunur.
Taralı Alan = pr22pr12
p ortak parantezinde
Taralı Alan =p(r22-r12)

  • O merkezli ve r yarıçaplı daire diliminde yay uzunluğuna

|AB| = l dersek


5. Çemberde Benzerlik
Bütün çemberler benzer olduğundan eş açılı yaylarda benzerdir. Üçgenlerdeki benzerlik özelliklerini yaylarda da kullanabiliriz.
şekildeki O merkezli AB, CD ve EF çember yayları veriliyor.
Üçgenlerde geçerli olan tüm benzerlik özellikleri burada da
geçerlidir.

Alanlar S, 3S, 5S sırasıyla orantılıdır.

  • Aynı merkezli daire dilimleri arasında kalan alan, yamuğun alanına denktir.

h = r2 – r1


6. Teğet Çemberlerde Benzerlik
BTC açısı ortak açı olduğundan AT ve BT yaylarının ölçüleri eşittir.
Ölçüleri eşit yaylar benzer olduğundan

 

  • ÜÇGENDE AÇIORTAY BAĞINTILARI

1. Açıortay nedir
Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.
Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.
Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.
AOB bir açı,
[OC açıortay
m(AOC) = m(COB)
|AC| = |CB| AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|
2. İç Açıortay Bağıntısı nedir
ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan
olur …..(1)
ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.
olur …..(2) [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den
olur
ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla
Buradan ve b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir. 3. İç Açıortay Uzunluğu nedir
ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay
uzunluğuna nA dersek
4. Dış Açıortay Bağıntısı nedir
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.
5. Dış Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna
n’A dersek
6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı
m(DAE)=90°

ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir.
[DA] ^[AE]

  • Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.

P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.

  • ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞıNTILARI

1. Ağırlık Merkezi
Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının
kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi
denir.
a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.
ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların
orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise
eşitlikleri vardır.
b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.
c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
ağırlık merkezidir.

d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.

e. ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
eşitliğini sağlayan G noktası ABC
üçgeninin ağırlık merkezidir.
2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
|AG|=|DC|=|BD| 3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar

a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.

b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur.
K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.
[FE] //[BC] 2[FE]=[BC]
a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.

b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.
5. Kenarortay Uzunluğu nedir
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen
kenarortayın uzunluğuna Va dersek
Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

6. Dik Üçgende Kenarortaylar
A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında

__________________

1. Açıortay nedir
Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.

Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.
Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.
AOB bir açı,
[OC açıortay
m(AOC) = m(COB)
|AC| = |CB| AOC ve BOC eş
üçgenler olduğundan
|OA| = |OB|
2. İç Açıortay Bağıntısı nedir
ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin
[BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan
olur …..(1)
ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.
olur …..(2) [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den
olur
ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla
Buradan ve b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir. 3. İç Açıortay Uzunluğu nedir
ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay
uzunluğuna nA dersek
4. Dış Açıortay Bağıntısı nedir
ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.
5. Dış Açıortay Uzunluğu
ABC üçgeninde [AD] dış açıortayının uzunluğuna
n’A dersek
6. İç açıortayla dış açıortay arasındaki açı
m(DAE)=90°

ABC üçgeninde [AD] iç açıortayı ile [AE] dış açıortayı arasındaki açı için
2a + 2b = 180°
a + b = 90° dir.
[DA] ^[AE]

  • Bir üçgende iç açıortayların kesim noktası iç teğet çemberin merkezidir.

P noktasının kenarlara uzaklığı eşittir. Merkezden indirilen dikmeler iç teğet çemberin yarıçapı olur.

  • ÜÇGENDE KENARORTAY BAĞıNTILARI

1. Ağırlık Merkezi
Üçgenlerde kenarortaylar bir noktada kesişirler.Kenarortayların kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.
ABC üçgeninde [AD], [BE] ve [CF] kenarortaylarının
kesiştikleri G noktasına ABC üçgeninin ağırlık merkezi
denir.
a. Ağırlık merkezi kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde böler.
ABC üçgeninde D, E, F noktaları bulundukları kenarların
orta noktaları ve G ağırlık merkezi ise
eşitlikleri vardır.
b. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir.
c. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |AG| = 2|GD| olduğundan G noktası
ağırlık merkezidir.

d. ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve |CG| = 2|FG| olduğundan G noktası ağırlık merkezidir.

e. ABC üçgeninde |AG| = 2|GD| ve |CG| = 2|GF|
eşitliğini sağlayan G noktası ABC
üçgeninin ağırlık merkezidir.
2. Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay hipotenüsün yarısına eşittir.
ABC dik üçgeninde [BD] hipotenüse ait kenarortay
|AG|=|DC|=|BD| 3. Kenarortayların Böldüğü Alanlar

a.Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler.

b.G ağırlık merkezi köşelere birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
c. G ağırlık merkezi kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür.
4.ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizilirse |AK| = 3x
|KG| = x
|GD| = 2x eşitlikleri bulunur.
K noktası [AD] kenarortayının orta noktasıdır.
[FE] //[BC] 2[FE]=[BC]
a. ABC üçgeninde kenarortaylar ve [FE] çizildiğinde şekildeki gibi bir alan bölünmesi oluşur.

b.Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür.
5. Kenarortay Uzunluğu nedir
ABC üçgeninde A köşesinden çizilen
kenarortayın uzunluğuna Va dersek
Bu bağıntı diğer kenarortaylar içinde geçerlidir.
Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

Kenarortaylar taraf tarafa toplanırsa

6. Dik Üçgende Kenarortaylar
A açısı 90° olan bir dik üçgende kenarortaylar arasında

__________________

SORU : Alanı olan bir ABC ikizkenar üçgeninde |AB| = |AC| = 2|BC| ise, bu üçgende B’den AC doğrusuna indirilen dikmenin ayağının C noktasına uzaklığı nedir?

A)
B) 4
C) 2
D)
E)

SORU : Tabanı kare ve yüksekliği, taban köşegeninin yarısına eşit olan bir düzgün piramidin taban köşegeninin uzunluğu 12 ise, yanal alanı nedir?

A) 144
B) 48
C) 60
D) 48
E) 78

SORU : Kenar uzunlukları a ve b (a > b) olan dikdörtgen biçiminde bir kağıt, bir köşegeninden bükülerek ikiye katlanıyor ve tek kat kalan kısımlar kesilerek kağıt tekrar açılıyor. Ortaya çıkan şeklin alanı aşağıdakilerden hangisidir?

A)
B)
C)
D)
E)

Cevap C

SORU : Dar açılı bir ABC üçgeninde [AD] ve [BE] iki yükseklik olmak üzere, [AB] ve [DE]’nin orta noktaları F ve G ile gösterildiğinde, |DE| = 30 ve |AB| = 34 ise, |FG| nedir?

A) 16
B) 10
C) 8
D) 10
E) 6

Cevap B

SORU : Bir ABCD karesinde köşegenlerin kesişim noktası E, BAC açısına ait açıortayın [DB] ve [BC] ile kesişim noktaları, sırayla F ve G ile gösterildiğinde, |EF| = ise, |GC| nedir?
A) 2 B) 3 C) D) E)
CEVAP D

SORU : Çap uzunluğu 6 olan [AB] çaplı yarım çemberin [AD] ve [DC] kirişlerinin her birinin uzunluğu 2 ise, [BC] kirişinin uzunluğu nedir?
A) B) 4 C) D) 3 E)
CEVAP A

SORU : Bir kenarının uzunluğu 10 birim olan eşkenar üçgenin kenarlarına eşit aralıklarla paraleller çizilerek her kenar 10 parçaya bölünüp küçük eşkenar üçgenler oluşturuluyor. Kenar uzunluğu 1 birim olan üçgenlerden toplam olarak en az kaç kenar silinmelidir ki, kalan şekilde hiç üçgen bulunmasın?
A) 55 B) 50 C) 45 D) 60 E) 65
CEVAP D

SORU : BirABCD karesinin A köşesinin ve [AB] kenarının orta noktasının, kareyi sadece D noktasında kesen bir d doğrusuna uzaklıkları, sırasıyla 10 ve 22 ise, C noktasının d doğrusuna uzaklığı nedir?
A) 16 B) C)15 D) 24 E) 20
CEVAP B

SORU : BirABCD yamuğunda AB // CD, |AB| < |CD| ve Alan (ABC) = 30 dur. B den geçen ve AD ye paralel olan doğru, [AC] yi E noktasında kesiyor. |AE| : |EC| = 3 : 2 ise, ABCD yamuğunun alanı nedir?
A) 45 B) 60 C) 72 D) 80 E) 90
SORU : En büyük kenar uzunluğu 13 ve çevre uzunluğu 28 olan bir ikizkenar yamuğun alanı en çok kaç olabilir.
A) 13 B) 24 C) 27 D) 28 E) 30
SORU : P noktasının, yarıçapı 15 olan bir çemberin merkezinden uzaklığı 9 ise, bu çemberin P den geçen ve uzunluğu tam sayı olan kaç kirişi vardır?
A) 11 B) 12 C 13 D) 14 E) 29
SORU : Bir ABC üçgeninde |BC| = 7 ve |AB| = 9 dur. m(AC) = 2m(BA) ise, üçgenin alanı nedir?

A) 14
B) 30
C)
D) 20
E) 12

SORU : Yüksekliklerinin orta noktaları doğrudaş olan bir üçgenin en büyük kenar uzunluğu 10 ise, alanı en çok kaç olabilir?

A) 20
B) 25
C) 30
D) 40
E) 50

SORU : Kenar uzunluğu a olan düzgün dışbükey dokuzgenin en kısa ve en uzun köşegenlerinin uzunlukları sırasıyla b ve c ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A)
B)
C)
D) c = a + b

E)

SORU : Dar açılı bir ABC üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı, merkezinin AB’ye olan uzaklığının iki katıdır. |AC| = 2, |BC| = 3 ise, C’den geçen yükseklik ne olur?
A)
B)
C)
D)
E)
SORU : AB || CD olan ikizkenar bir ABCD yamuğunun tm kenarları bir çembere teğettir. [AD] nin bu çembere değme noktası N; NC ve NB doğrularının çemberi N dışında kesiştiği noktalar sırasıyla K ve L ise, nedir?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10

SORU : Bir ABC üçgeninde |AC| = 1, |AB| = dir. AB doğrultusuna göre C ile farklı tarafta, |MA| = |AB| ve m(MÂB) = 90°° olacak şekilde bir N noktası alınıyor. MAN üçgeninin çevrel çember merkezi ile A’dan geçen doğru, [BC]’yi F noktasında kesiyorsa, nedir? olacak şekilde M noktası ile AC doğrusuna göre B farklı tarafta |NA| = |AC| ve m(NÂC) = 90

A) 2
B) 2
C) 2
D) 3
E) 3

SORU : Bir ABC üçgeninde [BD] kenarortay, m(AD) = 90°, |AB| = 2 ve |AC = 6 ise, |BC| nedir?

A)
B) 4
C) 5
D) 3
E) 3

SORU : Alanı a olan bir diküçgenin teğet çemberi ile, alanı b olan bir diküçgenin çevrel çemberi aynı çember ise, en az nedir?

A) 2
B) 2+
C) 2
D) 1+
E) 3+2

SORU : Birbirine dıştan teğet k1 ve k2 çemberlerinin ortak dış teğet doğrularından biri d olsun. d’nin k1 çemberine değdiği nokta A, k1 çemberinin A dan geçen çapı [AB], B noktasından k2 çemberine çizilen teğetin değme noktası C ile gösterilmek üzere, |AB| = 8 ve k2 çemberinin çapı 7 ise, |BC| nedir?

A) 5
B) 8
C) 10
D) 6
E) 7

Cevap B

SORU : ABCDE dışbükey m() = m(), m() = 120°, |AB| =2, |BC| = |CD| = ve |ED| = 1 olduğuna göre, |AE| nedir?

A)
B) –1
C)
D)
E)

Cevap A

SORU : Bir ABCD dışbükey kirişler dörtgeninde m(AB) = 90°, m(AD) = 45°, |AB| = 26 ve |BC| = 10 ise, DAC üçgeninin alanı nedir?

A) 80
B) 84
C) 90
D) 108
E) 120

Cevap B

SORU : Kenar uzunlukları 1, 4, 7, 8 olan bir dikdörtgenin alanı en ok kaç olabilir?

A) 9
B) 12
C) 18
D) 10
E) 7

Cevap C

SORU : Kenar uzunlukları 3, 7 ve 8 olan bir üçgenin içinde gelişigüzel alınan bir noktadan, köşelerden en az birine olan uzaklığın 1’den küçük olması olasılığı nedir?

A)
B)
C)
D)
E)

Cevap D

SORU : O1 ve O2 merkezli birbirine dıştan teğet iki çemberin ortak dış teğet doğrularından biri çemberlere sırasıyla B ve C noktalarında değiyor. Çemberlerin ortak noktası A olmak üzere BA doğrusu O2 merkezli çemberi A v D noktalarında kesiyor. |BA| = 5 ve |AD| = 4 ise |CD| nedir?
A) 4 B) C) 6 D) E)

Cevap C

SORU : Alanı 18 olan bir ABCD dışbükey dörtgeninde, |AB| + |BD| + |DC| = 12 ise, |AC| nedir?

A) 6
B) 6
C) 8
D) 6
E) 9

Cevap A

SORU : Bir ABCD karesinin [AB] kenarı üstünde bir K noktası, [BC] kenarı üstünde de bir L noktası alınıyor. |AK| = 3, |KB| = 2 ve DL doğrusuna uzaklığı 3 ise, |BL| : |LC| nedir?

A)
B)
C)
D)
E)

Çemberde Açı ve Uzunluk

  • TEĞET – KİRİŞ ÖZELLİKLERİ

1. Teğet noktasından ve çemberin merkezinden geçen doğru, teğet olan doğruya diktir.AB doğrusu T noktasında çembere teğet

AB ^ OTTeğet doğrusuna, teğet noktasından çizilen dik doğru çemberin merkezinden geçer.

2. Çemberin dışındaki bir noktadan çembere çizilen teğetlerin uzulukları birbirine

eşittir.

[PA ve [PT

çembere teğet

|PA| = |PB|

[PT ve [PS çembere teğet ve O çemberin merkezi ise [PO, TPS açısının açıortayıdır.

|OT| = |OS| ve [PT] ^ [TO], [PS] ^ [SO] olduğundan PTOS dörtgeni bir deltoid tir.

  • İçten ve dıştan teğet çemberlerde merkezleri birleştiren doğru teğet noktasından geçer.

O1 ve O2 merkezli çemberler T noktasında dıştan teğet ise, merkezleri birleştiren doğru T noktasından geçer.

Aynı özellik içten teğet çemberler için de geçerlidir.O1 , O2 ve T noktaları aynı doğru üzerindedir.

3. Bir çemberin merkezinden kirişe indirilen dikme, kirişi ortalar.

Bir çemberde, merkeze uzaklıkları eşit olan kirişlerin uzunlukları da eşittir.

|OF|=|OE|Û|AB|=|CD|

Bir çemberde herhangi iki kirişten merkeze yakın olanı daha büyüktür.

|OH|<|ON|Û|AB|>|CD|

4. Bir çemberde eşit uzunluktaki kirişlerin gördüğü yaylarda eşittir.

5. Bir çemberde paralel iki kiriş arasında kalan yaylar eşittir.

Bir çember içinde alınan herhangi bir P noktasından geçen en kısa kiriş, orta noktası P olan kiriştir.

[AC] ^ [PO]

  • TEĞETLER DÖRTGENİ

1. Bir çembere teğet dört doğru parçasının oluşturduğu dörtgene teğetler dörtgeni denir. ABCD dörtgeninde K, L, M, N teğetlerin değme noktasıdır.

2. Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı eşittir.

a+c=b+d

3. Teğetler dörtgeninin alanı; içteğet çemberin yarıçapı ile çevresinin çarpımının yarısıdır.

  • KİRİŞLER DÖRTGENİ

Kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların toplamının 180° dir.

Dörtgeninin alanı;

A(ABCD)=Ö(u – a)(u – b)(u – c)(u – d)

KUVVET

1. Çemberin Dışındaki Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti

[PT, T noktasında çembere teğet, [PB ve [PD çemberi

kesen ışınlar

Kuvvet = |PT|2 = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|2. Çemberin İçindeki Bir Noktanın Çembere Göre Kuvveti

Bir çemberin içindeki bir noktada kesişen iki kiriş üzerinde, kesim noktasının ayırdığı parçaların uzunlukları çarpımı

sabittir.

Kuvvet = |PA| . |PB| = |PC| . |PD|

  • Çemberin üzerindeki bir noktanın çembere göre kuvveti sıfırdır

3. İki Çemberin Kuvvet Ekseni

Kuvvet ekseni üzerindeki noktaların her iki çembere göre kuvvetleri eşittir.

a. Dıştan teğet iki çemberin kuvvet ekseni teğet noktasından geçer. Kuvvet ekseni çemberin merkezlerini birleştiren doğruya teğet noktasında diktir. |O1O2| = r1 + r2

b. İçten teğet çemberlerin kuvvet ekseni teğet noktasından geçer. Kuvvet ekseni merkezlerden geçen doğruya teğet noktasında diktir. |O1O2| = r1 – r2

c. Kesişen çemberlerde kuvvet ekseni çemberlerin kesişim noktalarından geçer ve merkezleri birleştiren doğruya diktir. |O1O2| < r1 + r2

şekildeki P noktasının A noktasında birbirine dıştan teğet olan O1 ve O2 merkezli çemberlere uygulamış olduğu kuvvetler eşittir.

|PB|=|PA|=|PC| Û |BA]^[AC]

  • Yarıçapları kesişim noktalarında dik olan çemberlere dik kesişen çemberler denir.

d. Kesişmeyen çemberlerin ortak noktası yoktur. Kuvvet ekseni iki çemberin arasında ve çemberlerin merkezlerini birleştiren doğruya diktir. |O1O2| > r1 + r2

4. Ortak Teğet Parçasının Uzunluğu

Ortak teğet uzunluğunun bulunabilmesi için merkezlerden teğetlere dikler çizilir.

O1O2C dik üçgeninde |CO2| = |AB|

|AB|2 =|O1O2|2 – |r1-r2|2

5. Bir Doğru İle Bir Çemberin Durumları

Aynı düzlemde bulunan O merkezli r yarıçaplı bir çember ile d doğrusu üç farklı durumda bulunur.

a. |OH| > r ise

doğru çemberi kesmez ve doğru çemberin dışındadır.

Çember Ç d = Æ

b. |OH| = r ise

doğru çemberi bir noktada keser. Yani doğru çembere teğettir.

Çember Ç d = {H}

c. |OH| < r ise

doğru çemberi iki noktada keser.

Çember Ç d = {A, B}

kaynak:sanaldershane den alıntıdır.


Bedava İlan Verme