Ders Anlatım Eğitim Blogu,Öss,Sbs,Dersler

fizik, kimya, biyoloji, ingilizce, öss, sbs, öğretmenler

A. TANIM

a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.

Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

1) f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası

T(r, k) olmak üzere,

Ü Parabol doğrusuna göre simetriktir.

doğrusu parabolün simetri eksenidir.

y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır.

C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.

ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.

Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde

D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.
D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez. D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir. D. x2 NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ 1) a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

2) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır. .a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

3) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.

|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktür

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) … (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – r)2 + k … (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

y1 = ax12 + bx1 + c … (1)

y2 = ax22 + bx2 + c … (2)

y3 = ax32 + bx3 + c … (3)

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU

y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.

f(x) = g(x)

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + (b – m)x + c – n = 0 … (*)

(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, (*) denkleminde;

D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez. D = 0 ise, parabol doğruya teğettir. Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.

B. OLASILIK TERİMLERİ

Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit etme işlemine deney denir.

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir.

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta denir.

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.

Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.

Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin) olay denir.

A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.

A Ç B = Æ

ise, A ve B olayına ayrık olay denir.

C. OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun.

P : K ® [0, 1]

biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı denir.

Ü 1) Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir. Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır.

2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin olayın olasılığı 1 dir.

3) A, B Î K ve A Ç B = Æ ise,

P(A È B) = P(A) + P(B) dir.

Ü 1)

2) A Ì B ise P(A) £ P(B) dir.

3) A, A nın tümleyeni olmak üzere,

P(A) + P(–A) = 1 dir.

4) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer ayrık bütün olayları ise,

(E = A È B È C)

P(A) + P(B) + P© = 1 dir.

Ü 1) n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n
dir.

Ü 2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6n dir.

D. BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR

Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir.

Ü A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı :

P(A Ç B) = P(A) . P(B) dir.

E. KOŞULLU OLASILIK

A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir.

S.1) a = sin 5°
b = sin 85°
c = sin 105° olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur.

A) a 0 dır.

Çözüm :

cos2 x + cos 2x = sin2 x + sin 2x
cos2 x – sin2 x + cos 2x = sin 2x

cos 2x

2 cos 2x = sin 2x………………………………..(I)
2 =

tan 2x = 2 …………………………………………(I I)

…………………………………….(III)

Buna göre, tan2 x + tan x – 1 = 0 dır.

tan2 x + tan x – 1 = 0 tan x = dir. 0°

A. SAYI BASAMAGI

Bir sayiyi olusturan rakamlardan her birine bu sayinin basamagi denir.
Bir dogal sayida kaç tane rakam varsa sayi o kadar basamaklidir. 243 üç basamakli bir sayidir.
B. ÇÖZÜMLEME

Dogal sayiyi olusturan rakamlarin bulundugu yerdeki degerine basamak degeri denir.
Basamak degerlerinin toplamina o sayinin çözümlenmis biçimi denir.
a b c = 103 . a + 10 . b + c
| | |
| | |
| | | 100 lar (birler) basamagi
| |
| | 101 ler (onlar) basamagi
|
| 102 ler (yüzler) basamagi
ab = 10 . a + b
abc = 100 . a + 10 . b + c
aaa = 111 . a
ab + ba = 11 . (a + b)
ab – ba = 9 . (a – b)
abc – cba = 99 . (a – c)
C. TABAN

Bir sayi sisteminde sayinin basamak degerlerini göstermek için kullanilan düzene taban denir.
T taban olmak üzere,
(abcd)T = a . T3 + b . T2 + c . T + d dir.
Burada,
T, 1 den büyük dogal sayidir.
a, b, c, d rakamlari T den küçüktür.
Taban belirtmeden kullandigimiz sayilar 10 luk tabana göredir.
(abc, de)T = a . T 2 + b . T + c + d . T – 1 + e . T – 2 dir.
1. Onluk Tabanda Verilen Sayinin Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi
Onluk tabanda verilen sayi, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu isleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.
Ardisik olarak yapilan bu bölmelerden kalanlar sondan baslayarak (ilk kalan son rakam olacak sekilde) siralanmasiyla istenen sayi olusturulur.
2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayinin 10 luk Tabana Çevrilmesi
Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayi, ait oldugu tabana göre çözümlenir.
3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayinin Baska Bir Tabanda Yazilmasi
Herhangi bir tabanda verilen sayi önce 10 tabanina çevrilir. Bulunan deger istenen tabana dönüstürülür.
4. Taban Aritmetiginde Toplama, Çikarma, Çarpma Islemleri
Degisik tabanlarda yapilacak islemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapilir.
T tabaninda verilen sayilarda toplama ve çarpma islemleri bilinen cebirsel islem gibi yapilir, ancak sonuç T den büyük çikarsa içinden T ler atilip kalan alinir. Atilan T adedi elde olarak bir sonraki basamaga ilave edilir.
Çikarma islemi yapilirken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiginde, bu 1 in aktarildigi basamaga katkisi tabanin sayi degeri kadardir. Fakat alindigi basamaktaki rakam 1 azalir.

2 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 2 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod2) olmali
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0
10 º 0(mod2) olduguna göre “n∈N için 10n º 0 (mod2)
x º 0+0+0+ . . . +a0 º 0 (mod2) olmali.

Demek ki a0 º 0(mod2) olmali.

O halde son basamaktaki sayi çift olmalidir.

3 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 3 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod3) olmali
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0
10 º1 (mod3) olduguna göre “n∈N için 10n º 1(mod3)
x º an.1+an-1.1+ . . . +a.1+a0 º 0 (mod3) olmali

Demek ki an+an-1+an-2+ . . . +a1+a0 º 0 (mod3) olmali

O halde rakamlarinin toplami 3 ün kati olmalidir.

4 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 4 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a2.102+a1.101+a0 º0 (mod4) olmali

101 º 2 (mod4)
102 º 0 (mod4)
103 º 0 (mod4)
104 º 0 (mod4)

O halde
x º an.0+an-1.0+ . . . +a2.0+a1.10+a0 º 0 (mod4)
a1.10+a0 º 0 (mod4) olmali

O halde sayinin son iki basamagindaki sayi 4 ile tam bölünebilmelidir.

5 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . .a0 sayisinin 5 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod5) olmali
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a1.101+a0
10 º 0 (mod5) olduguna göre “n∈N için 10n º 0(mod5)
x º an.0+an-1.0+ . . . +a1.0+a0 º 0 (mod5) olmali
a0 º (mod5)

O halde son basamaktaki sayi 0 ya da 5 olmalidir.

6 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayisinin 6 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod6) olmali
6 = 2 . 3 olduguna göre x º 0 (mod6) ise
x º 0 (mod2) ve x º 0 (mod3) olmalidir.

O halde hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilme kuralini birlikte saglamalidir.

7 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayisinin 7 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod7)

101 º 3 (mod7)
102 º 2 (mod7)
103 º 6 º -1 (mod7)
104 º-3 (mod7)
105 º-2 (mod7)
106 º 1 (mod7)

x = . . . +a6.(1) + a5.(-2)+a4.(-3) + a3.(-1) + a2.2+a1.3+a0 = 0 (mod7)

+ – +

O halde sayinin basamaklarinin sagdan sola dogru 3’er 3’er grupladiktan sonra her grup sirasiyla birer birer yada (-) isaretleri koyulduktan sonra sagdan sola dogru her basamaktaki sayiyi sirasiyla isaretleri ve “1”,”3” ve “2” sayilariyla çarptiktan sonra bulunan toplam sayi 7’nin kati olmalidir.

8 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 8 ile tam bölünebilmesi için
x º 0(mod8) olmali
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod8) olmali

101 º 2 (mod8)
102 º 4 (mod8)
103 º 0 (mod8) “n∈N+ ve n ³ 3 için 10n º 0 (mod8)
104 º 0 (mod8)

x = an.0+an-1.0+ . . . + a3.0+a2.102+a1.10+a0 º 0 (mod8) olmali
a2.102+a1.10+a0 = a2a1a0 º 0 (mod8) olmali

O halde son 3 basamagindaki sayi 8 in kati olmalidir.

9 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 9 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0 (mod9) olmali.
10 º 1(mod9) “n∈N için 10n º 1(mod9)

x = an.1+an-1.1+an-2.1+ . . . +a1.1+a0 º 0 (mod9) olur
an+an-1+an-2+ . . . a1+a0 º 0 (mod9) olur.

O halde sayinin rakamlarinin toplami 9’un kati olmalidir.

11 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 11 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod11) olmali
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0

101 º -1 (mod11)
102 =100 º 1 (mod11)
103 º-1 (mod11)
104 º 1 (mod11)
105 º-1 (mod11)
106 º 1 (mod11)

x = an.(1)+an-1.(-1)+an-2.(1)+ . . . +a2.(1)+a1.(-1)+a0
an-an-1+an-2+ . . . +a2-a1+a0 º 0 (mod11)

O halde sayinin rakamlari sagdan sola dogru (+1) ve (-1) ile çarparak toplandiginda bulunan sayi 11’in kati olmalidir.

21 Ile Bölünebilme

21 = 3 . 7
Hem 3 hem de 7 ile bölünebilme kurallarini birlikte saglamalidir.

Diferansiyel denklemler konusunda yapilan ilk çalismalar, 17. yüzyilin ikinci yarisinda, diferansiyel ve integral hesabin kesfinden (ortaya çikmasindan); hemen sonra, Ingiliz matematikçi Newton (1642-1727); ve Alman matematikçi Leibniz (1641-1716); ile baslar.

Daha sonralari, matematik tarihinde büyük isim yapmis olan, Isviçreli matematikçilerden Bernouilli kardeslerin, 18. yüzyilda da, Euler, Clairaut, Lagrance, D’Alembert. Charbit, Monge, Laplace ile 19. yüzyilda da, Chrystal, Cauchy, Jacobi, Ampere, Darboux, Picard , Fusch ve F.G. Frobenius, diferansiyel denklemler teorisini, bugünkü ileri seviyeye getiren matematikçilerdir.

Belli tip diferansiyel denklemlerin, belli sartlar altinda bir çözümlerinin mevcut olmasinin ispati, diferansiyel denklemler teorisinde varlik teoremi konusunu teskil etmekte olup, bu da, ilk olarak 1820 ile 1830 yillari arasinda, Fransiz matematikçi A.L. Cauchy tarafindan tesis edilmis ve daha sonra gelenler tarafindan gelistirilmistir.

Newton ve Diferansiyel Denklem
Ingiliz matematikçi Newton (1642-1727);, diferansiyel denklemler üzerindeki çalismalarina 1665 yilinda baslamistir. 1671 yilinda yayinladigi bir makale ile, diferansiyel denklemleri 3 ayri sinifta göstermistir. Bunlar:

Birinci Sinif Diferansiyel Denklemler: Bu sinifa ayirdiklari, dy/dx tipinde olanlardir. Burada y, x’in bir fonksiyonudur veya bunun tersi de söz konusudur.

Ikinci Sinif Diferansiyel Denklemler: Bu sinifa ayirdiklari, (dy/dx); = f(x,y); tipinde olanlardir.

Üçüncü Sinif Diferansiyel Denklemler: Bu siniftaki diferansiyel denklemler ise, kismi diferansiyel tipinde olanlardir.

Leibniz ve Diferansiyel Denklem
Alman filozof ve matematikçi Leibniz (1646-1716);, diferansiyel denklemler üzerine çalismalarina 1673 yilinda baslamistir. Bu konudaki çalismalarini, 1684 ile 1686 yillari arasinda yazdigi Aklaerudilorum adinda bir eseri ile ortaya koymustur.

Leibniz’in bu eseri, yayinlandigi yillarda Almanya’da gereken ilgiyi görmemistir. Fakat, Isviçre’de, Jaques ve Jean Bernouilli kardesler tarafindan, ilgiyle incelenmistir. 1690 yilinda, Jaques Bernouilli bu konuda önemli bir eser yayinlanmistir. Yine ayni yillarda; Leibniz ve Bernouilli kardesler tarafindan, diferansiyel üzerinde önemli arastirmalar yapmislardir. Yeni çözüm yollari gelistirmislerdir. Leibniz 1691 yilinda; f (x,y); = f (x.g (y)[Only Registered Users Can See Links. Click Here To Register…]; seklinde olan diferansiyel denklemin çözümünü yapmistir.

Euler ve Diferansiyel Denklem
Alman matematikçi Leonard Euler (1707-1783);, 1728 yilinda, diferansiyel denklemler üzerinde genis çalismalar yapmistir. Diferansiyel denklemlerin derecesini düsürme yöntemlerini gelistirmistir. Seri çözümleri:

(1-x4);-1/2dx + (1-y4);1/2dy = 0

seklinde olan Abel’in teoreminin cebirsel çözümünü bulmustur. Bu çözüm, eliptik fonksiyonlarda önemli rol oynamistir.

Euler’in Denklemi
ai ler sabit olmak üzere, denklemin genel sekli:

a0xnyn + a1xn-1yn-1 + … + an-1 xy + an = q(x);

olan bu denklem, y’ye ve türevlerine göre lineerdir, fakat katsayilar degiskendir

0, 1, 2, 3, … , 50, … devam eden sayılara doğal sayılar denir.

Doğal sayılar kümesi D ile gösterilir.

D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

İkinin katı olan sayılara çift doğal sayılar, çift doğal sayılardan bir sonra gelen sayılara da tek doğal sayılar denir.

n bir doğal sayı iken;
Çift doğal sayılar : 2
Tek doğal sayılar : 2 + 1 biçiminde gösterilir.

Sayma Sayıları

Sıfır dışındaki doğal sayılara sayma sayıları denir.

S = {1, 2, 3, 4, 5, …}

SAYI DOĞRUSU

Doğal sayılar kümesinin elemanları sırası bozulmadan, bir doğrunun eşit aralıklardaki bazı noktaları ile bire-bir eşlenirse bu doğruya sayı doğrusu denir.

ONLUK SAYMA DÜZENİ

Sayı sistemimiz onluk sayma düzenine göredir. Bu düzende çokluklar birlik, onluk, yüzlük, binlik gibi gruplara ayrılır. Bir doğal sayıda bu grupların yerleri bellidir. Örneğin, 2543 sayısı içinde 3 birlik, 4 onluk, 5 yüzlük, 2 binlik vardır.

RAKAM

Ona kadar olan doğal sayıları gösteren işaretlere rakam denir.
Rakamlar kümesi : R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} olarak tanımlanır.
Onluk sistemde on tane rakam kullanılır.

BASAMAK DEĞERİ

Rakamların sayı içinde bulundukları basamağa göre aldıkları değerlere basamak değeri ya da bağıl değer denir.

Bir sayının rakamlarının basamak değerleri toplamı sayının kendisini verir.

SAYI DEĞERİ

Rakamların sayı içindeki basamak değerleri gözönüne alınmadan tek başına gösterdiği değere sayı değeri ya da mutlak değeri denir.

ÇÖZÜMLEME

Bir sayının içinde kaç tane birlik, kaç tane onluk, kaç tane yüzlük, kaç tane binlik, … varsa bunları ayırarak toplam biçiminde yazmaya çözümleme denir.

2345 = 1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 +
10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

GRUPLAMA

Sayıları basamak değerlerinin toplamı biçimde yazmaya gruplama denir.

2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 veya
= 2 binlik + 3 yüzlük + 4 onluk + 5 birlik

SAYILARIN ÜSLÜ BİÇİMDE GÖSTERİLMESİ

ÜSLÜ SAYILARIN OKUNUŞU

4 4 üssü 2 (4’ün karesi, 4’ün ikinci kuvveti)
5 5 üssü 3 (5’in kübü, 5’in üçüncü kuvveti)
3 3 üssü 4 (3’ün dördüncü kuvveti)

ÜSSÜN ANLAMI

Üs tabanın kendisi ile kaç kez çarpılacağını gösterir.

10 = 10 x 10 = 100
5 = 5 x 5 x 5 = 125
4 = 4 x 4 x 4 x 4 = 256
3 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ

Bir sayıda üs yazılmamışsa üs 1 dir. 3=3, 7=7, 10=10, 15=15
Üssü 0 olan sayı 1’e eşittir. 80=1, 9=1, 160=1, 0=1
Üssü 1 olan sayı kendisine eşittir. 7=7, 1000=1000, 64=64, 1=1
1 sayısının bütün kuvvetleri 1’e eşittir. 1=1, 1=1, 1=1
Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken; ortak taban yazılır, üsler toplanıp bir tek üs olarak yazılır.

ÜSLÜ BİÇİMDE ÇÖZÜMLEME

Bir sayı üslü biçimde çözümlenirken basamak değeri 10’un üssü şeklinde yazılır.

5679 = (5 x 1000) + (6 x 100) + (7 x 10) + (9 x 1)
=(5 x 10) + (6 x 10) + (7 x 10) + (9 x 1)

DOĞAL SAYILARDA SIRALAMA

Sayı doğrusu üzerindeki her doğal sayı sağındaki sayıdan küçük solundaki sayıdan büyüktür. Doğal sayılar sıralanırken aralarına küçük ( < ) veya büyük ( > ) işareti konur.

Küçük < Büyük Büyük > Küçük

< işaretinin sivri ucuyla gösterdiği sayı diğer taraftaki sayıdan küçüktür. DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA AB = olmak üzere, (AB) kümesinin eleman sayısına toplama denir. A={1,2} ve B={3, 4, 5} ise s(A) + s(B) = s(AB) = 2 + 4 = 6 Toplama işleminde toplanan sayıların herbirine terim denir. İşlemin sonucuna da toplam denir. Toplama işlemi, ileriye doğru saymanın kısa yoldan yapılışıdır. Aynı türden ve birimleri aynı olan çokluklar toplanabilir. TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ KAPALILIK ÖZELLİĞİ İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. Buna kapalılık özelliği denir. 3D, 4D için 3 + 4 = 7D dir. 9D, 13D için 9 + 13 = 22D dir. aD, bD için (a + b)D dir. DEĞİŞME ÖZELLİĞİ Toplama işleminde terimlerin yerleri değiştirilirse toplam değişmez. Buna toplamada değişme özelliği denir. 3 + 5 = 8 = 5 + 3 aD, bD ise; a + b=b + a dir. BİRLEŞME ÖZELLİĞİ Toplama işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırırsa toplam değişmez. Bu özelliğe toplama işleminin birleşme özelliği denir. 3 + (4 + 6) = (3 + 4) + 6 3 + 10 = 7 + 6 13 = 13 aD, bD, cD ise (a + b) + c = a + (b + c) dir. Çok terimli toplama işlemlerinde terimler kendi aralarında gruplandırılarak işlem kolaylığı sağlanır. ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN Sıfır ile bir doğal sayının toplamı o doğal sayıya eşittir. 5 + 0 = 5 0 + 6 = 6 Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı 0'dır. DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA A = {a,b,c,d,e} B = {d,e} s(A) = 5 ve s(B) = 2 dir. s(A) - s(B) = s(C) 5 - 2 = 3 olarak gösterilir. Burada 5 : eksilen; 2 : çıkan 3 : fark olarak adlandırılır. B A ise A - B kümesinin eleman sayısına A ve B kümelerinin eleman sayılarının farkı denir. Bu farkı bulmak için yapılan işleme çıkarma işlemi adı verilir. Çıkarma geriye doğru saymanın kısa yapılışıdır. Sağlaması; a-b=c ise a=b + c olacak şekilde yapılır. Çıkarma işlemi toplamanın tersidir. ÇIKARMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ Kapalılık özelliği yoktur. 5D ve 6D için; 5-6 doğal sayı değildir. Değişme özelliği yoktur. 6D ve 2D için; 6-2=4D; 2-6 doğal sayı değildir. Birleşme özelliği yoktur. 7-(5-2) (7-5)-2 7-3 2-2 4 0 Doğal sayılar kümesinde çıkarma işlemine göre etkisiz (birim) eleman yoktur. 3-0=3 olmakla beraber 0-3 3'tür. DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA Elemanlarının sayısı bilinen A ve B kümeleri için s(A)=a, s(B)=b ve s(A ) x s( B)=m ise, m doğal sayısına a ile b'nin çarpımı denir. m=a x b biçiminde gösterilir. Çarpma işareti ( x ) ya da( . )' dır. ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ KAPALILIK ÖZELLİĞİ İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Bu özelliğe doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır denir. DEĞİŞME ÖZELLİĞİ Bir çarpma işleminde çarpanların yerleri değiştirilirse çarpım değişmez. Bu duruma çarpmanın değişme özelliği denir. 4 x 5 = 20 5 x 4 = 20 4 x 5 = 5 x 4'tür. aD, bD için; a x b = b x a 'dır. BİRLEŞME ÖZELLİĞİ Çarpma işleminde terimler ikişer ikişer gruplandırılarak çarpılırsa çarpım değişmez. Bu özelliğe çarpma işleminin birleşme özelliği denir. 4D, 5D, 2D için 4 x (5 x 2) = (4 x 5) x 2 4 x 10=20 x 2; 40=40'tır. ETKİSİZ (BİRİM) ELEMAN Bir sayının 1 ile çarpımı kendisine eşittir. 1 sayısı çarpma işlemini etkilemez. 1 sayısına çarpma işleminin etkisiz (birim) elemanı denir. 1 x 5=5 5 x 1=5 5 x 1=1 x 5=5'dir. aD için a x 1=1 x a=a 'dır. YUTAN ELEMAN Bir sayının sıfır ile çarpımı sıfıra eşittir. Bu nedenle 0 sayısına çarpma işleminde yutan eleman denir. 4 x 0=0 0 x 4=0 4 x 0=0 x 4=0 'dır. aD için 0 x a=a x 0=0 'dır. ÇARPMANIN TOPLAMA VE ÇIKARMA ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ aD, bD, cD için a x (b + c)=(a x b) + (a x c) ve aD, bD, cD için a x (b-c)=(a x b) - (a x c) 'dir. Bu özelliğe, çarpmanın toplama ya da çıkarma üzerine dağılma özelliği denir. ÇARPMADA KOLAYLIKLAR Bir sayıyı 10, 100, 1000, ... ile çarpmak için, sayının sağına bir, iki, üç, ... sıfır yazılır. 14 x 10 = 140 16 x 100 = 1600 22 x 1000 = 22000 7 x 10000 = 70000 Bir sayıyı 25 ile çarpmak için, sayı 100 ile çarpılır. Çarpım 4'e bölünür. 25 x 36=(36 x 100)/4=900 Bir sayı 50 ile çarpılırken, sayı 100'le çarpılır, çarpım 2'ye bölünür. 78 x 50=(78 x 100)/2=7800/2=3200 Bir sayı 5'le çarpılırken, sayı 10'la çarpılır sonra 2'ye bölünür. 89 x 5=(89 x 10)/2=890/2=445 Bir sayı 9'la çarpılırken, sayı 10'la çarpılır, çarpımdan sayının kendisi çıkarılır. 56 x 9=(56 x 10)-56, 560-56=504 DOĞAL SAYILARDA BÖLME aD, bD ve b0 olmak üzere, a x b=c olarak şekilde bir c doğal sayısı varsa, c sayısına a'nın b'ye bölümü denir. a/b=c veya a:b=c olarak gösterilir. BÖLMENİN SAĞLAMASI Sağlama işlemi, Bölünen = (bölen x bölüm) + kalan eşitliğiyle yapılır. Çarpma ve bölme işlemleri birbirinin tersidir. BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ Bölme işleminin doğal sayılarda kapalılık özelliği yoktur. 4D, 3D için 4/3=doğal sayı değildir. Bölme işleminin doğal sayılarda değişme özelliği yoktur. 5D, 15D için, 15/5 5/15 Doğal sayılarda bölme işleminin birleşme özelliği yoktur. (24/4)/2 24/(4/2) 6/2 24/2 3 12 Doğal sayılar kümesinde bölme işleminin etkisiz elemanı yoktur. 2/1 1/2 2 0,5 Bir doğal sayının 1'e bölümü kendisine eşittir. aD için a/1=a dır. 1/1=1, 39/1=39, 3/1=3, 101/1=101 Sıfırın (0) bir sayma sayısına bölümü sıfırdır. 0/a=0 'dır. 0/4=0, 0/100=0, 0/15=0 0 hariç, bir doğal sayının kendisine bölümü 1'e eşittir. aD için a/a=1 'dir. 6/6=1, 109/109=1, 10/10=1, 88/88=1 Bir doğal sayı sıfıra bölünemez. 5/0=tanımsız, 12/0=tanımsız Bir sayıyı 10, 100, 1000 ... ile bölmek; 10'a bölerken bir sıfır silinir. 400/10 = 40 100'e bölerken iki sıfır silinir. 200/100 = 2 1000'e bölerken üç sıfır silinir. 3000/1000 = 3

Koordinat Sistemi

Verilen bir noktanın kartezyen koordinat düzleminde nasıl gösterileceği aşağıda anlatılmaktadır.

Koordinatları A(2,3) olan bir noktayı göstermek için sıfır noktasından başlar ve sağa doğru x ekseni üzerinde iki birim ilerleriz. Sonra yukarı doğru y ekseni boyunca üç birim ilerleriz.

Verilen noktaları işeretleme:
A(2,3), B(5,1), C(-3,-2), D(2,-3) ve E(-1,2) noktalarını aşağıda verilen garfikte işaretleyiniz.

 

Not: Parantezin içindeki ilk sayı sağa veya sola doğru kaç birim hareket edeceğimizi, ikinci sayı ise yukarı veya aşağı doğru kaç birim hareket edeceğimizi gösterir.

 

Grafikler

Bir doğrunu grafiği bir denklem ile verilir.

 

Doğru Grafikleri

y=2x doğru denklemine bir örnektir.

 

Denklemin Grafiğinin Çizilmesi

Koordinatlarını bularak denklemin grafiğini çizebiliriz. Bunu yapabilmek için x’ e verdiğimiz değerleri denklemde yerine yazarak, bu değerlere karşılık gelen y değerlerini bulmalıyız.Sonuçlar aşağıdaki tablodadır.

y=2x denkleminin koordinat tablosu
x y  
-1 -2 y = 2 x -1 = -2
0 0 y = 2 x 0 = 0
1 2 y = 2 x 1 = 2
3 6 y= 2 x 3= 6

 

  Devamını Oku »

10.sınıf matematik konuları

2.dereceden denklemler
denklemin köklerini bulma
kökler ile katsayılar arasındaki bağıntılar
kökleri verilen denklemin yazılışı
2.dereceden eşitsizlikler
köklerin işaretleri
eşitsizlik sistemleri
daima doğru olan eşitsizlikler
2.dereceden fonksiyonlar(parabol)
fonksiyonun grafiği
parabolle bir doğrunun durumu
iki parabolün durumu
Devamını Oku »

1.Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri

1.dereceden bir denklemde aşağıda olduğu gibi, bir bilinmeyen (yani harf) ve iki taraflı eşitlik vardır.

y + 5 = 7

Denklemi çözmek için bu harfin yerine gelmesi gereken değeri bulmalıyız.
Yöntem
Bilinmeyeni eşitliğin bir tarafında yalnız bırakmak için diğer terim veya sayıları eşitliğin öbür tarafına geçirmeliyiz.

  y + 5 = 7 (Her iki taraftan 5 çıkaralım)  

5’i yok etmek için 5 çıkarırız.Eşitliğin bozulmaması için bu işlemi eşitliğin her iki tarafınada uygularız.

Bu durumda y + 5 – 5 = 7 – 5
  y = 2 denklemin çözümüdür.

 

Örnek 1: y + 8 = 11 Denkleminin çözümünü bulunuz. (Her iki taraftan 8 çıkartırız)
     y + 8 – 8= 11 – 8  
                y = 3  
   
Örnek 2: y + 2 = 7 Denkleminin çözümünü bulunuz. (her iki taraftan 2 çıkartırız)
          y + 2 – 2 = 7 – 2  
                     y = 5  

Not: Bu denklemleri çözmenin kolay yolu, sol taraftaki 2’yi eşitliğin sağ tarafına –2 olarak geçirmektir.

Örnek 3:          y + 10 = 14 (her iki taraftan 10 çıkarıtrız)
    y + 10 – 10 = 14 – 10  
                   y = 4  
     
Örnek 4:              y – 6 = 2 (her iki tarafı 6 ile toplarız)
         y – 6 + 6= 2 + 6 Not: Bu denklemde toplamamız gerekti.
                    y = 8  
     
Örnek 5:           3y = 15 (her iki tarafı 3 e böleriz)
              y = 15 ÷ 3 Çarpım halindeki 3’ü bölme haline getirdik.
              y = 5  
     
Örnek 6:  y = 2 7 (her iki tarafı 7 ile çarparız)
 

 y = 2 x 7

Bölüm halindeki 7 yi çarpım haline getirdik.
   y = 14  

 

Genel Kural

Bir terimi eşitliğin diğer tarafına geçirirken işaret değiştirmesi çok önemli bir genel kuraldır.

Eğer yer değiştirecek birden fazla terim varsa, önce + işaretlileri veya – işaretlileri yer değiştirin.

Örnek1: 2x + 5 = 15 Denkleminin çözümünü bulunuz. (her iki tarftan 5 çıkartın)
     2x + 5 – 5 = 15 – 5  
     2x = 10 (her iki tarafı 2 ye bölün)
       x = 10 ÷ 2  
       x = 5  

 

Örnek 2: Denkleminin çözümünü bulunuz.

 

x

– 4 = 2 (her iki tarafı 4 ile toplayın)

3

       
 

x

= 2 + 4  

3

     
 

x

= 6 (her iki tarafı 3 ile çarpın)

3

     

  x

 = 6 x 3  

kaynak: www.skoool.meb.gov.tr

CEBİRSEL İFADELER NE DEMEKTİR?

Belli bir kurala göre verilen sayı örüntülerini harfler
kullanarak denkleme dökme şekline cebirsel ifadeler denir. Diğer bir tanımla cebirsel ifadeler, bir harfin veya değişkenin belli bir pozitif tam kuvvetinin bir rasyonel sayı katı olan terimlerin toplamı, farkı veya çarpımıdır.
Örneğin Ali’nin yaşının 2 fazlası demek x+2 
Bu tür denklemleri çözerken amaç bilinmeyeni yani harfleri yalnız bırakıp harflerin sayı karşılığını bulmaktır.
Cebirsel ifadelerde kullanılan harfler sayıları temsil eder ve bilinmeyen veya değişken olarak isimlendirilir.
Değişken yerine bir sayı yazarak cebirsel ifadenin o sayı için değerini buluruz.
Değişkeni ve bu değişkenin kuvvetleri eşit olan cebirsel ifadeler benzer terimlerdir.
Cebirsel ifadeler toplanırken benzer terimlerin kat sayıları toplanır.
Cebirsel ifadeler, sayısal ifadelerin başka bir gösterimi olduğundan çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği uygulanır.www.matematikcifatih.tr.gg
Eşit işareti (=) ve bilinmeyen içeren sayı cümlesine denklem denir. Denklemi doğru yapan değişkenin değerine o denklemin çözümü denir.
Farklı şekillerin biraraya gelmesi sonucu oluşan yeni şekillere örüntü denir.Örüntüye halı desenlerini, sınıflardaki fayansların dizilişlerini örnek verebiliriz.İşte bunlar belli bir sayısal kurala göre dizilirler.

CEBİRSEL İFADELERLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

1)Veli’nin yaşının 3 katının 5 fazlası Ayşe’nin yaşına eşittir. Ayşe 17 yaşında olduğuna göre Veli kaç yaşındadır?

Veli=x
3x+5=17      
3x=17-5     
3x=12
3x/3=12/3
x=4

2) (-3x+5) ile (x-7) cebirsel ifadelerinin toplamını bulalım.

(-3x+5) + (x-7)  = -3x+5+x-7
                        = (-3x+x)+(5-7)
                        = (-3+1)x + (-2)
                        = -2.x -2
                        = -2x-2

3) 6a – 7b + 9 – 2a cebirsel ifadesi veriliyor.Bu ifadede;
a) Kaç tane terim vardır?
b) Sabit terim hangisidir?
c) 2 ve 4. terimlerin katsayılarını ve bilinmeyenlerini yazınız.
d) Benzer terimler varsa hangileridir?

a) 4 tane terim vardır.
b) Sabit terim 9’dur.
c) 2. ve 4. terimlerin katsayıları -7, -2
2. ve 4. terimlerin bilinmeyenleri b, a
d) 6a ile -2a benzer terimlerdir.

4) -(x-9)+2(4-3x)+8x cebirsel ifadesinin en sade eş değerini yazalım.

-(x-9)+2(4-3x)+8x   = -x+9+2(4-3x)+8x
                             = -x+9+8-6x+8x
                             = -x-6x+8x+9+8
                             = -7x+8x+17
                             = +x+17
                             = x+17

5) -(-x-5)+(-3x+3)-(5-2x)-3(-5x-1) cebirsel ifadesinin en sade eş değerini yazalım.

önce parantezin önündeki işaret ve sayıları parantezin içindeki her sayıyla ayrı ayrı dağıtarak çarpalım.İşaretlere dikkat !!! 
= +x+5-3x+3-5+2x+15x+3
= +x-3x+2x+15x+5+3-5+3
= +15x+6
= 15x+6

6) Bir kenarının uzunluğu x2 olan karenin alanını ve çevresini bulunuz.
Karenin alanı demek bir kenarını kendisiyle çarparız.

A=x2.x2

A=x4

Karenin çevresi demek bütün kenarlarını toplarız.

Ç=x2+x2+x2+x2

Ç=4.x2

7) Bir kenarının uzunluğu 3X olan karenin alanını ve çevresini bulunuz.

Karenin alanı demek bir kenarını kendisiyle çarparız.

A=3X.3X

A=9x2

Karenin çevresi demek bütün kenarlarını toplarız.

Ç=3X+3X+3X+3X

Ç=12X

8) Bir kenarının uzunluğu X+5 olan karenin alanını ve çevresini bulunuz.
Karenin alanı demek bir kenarını kendisiyle çarparız.

A=(X+5).(X+5)

A=x2+10X+25

Karenin çevresi demek bütün kenarlarını toplarız.
Ç==(X+5)+(X+5)+(X+5)+(X+5)

Ç=4X+20

9) Kısa kenarı X, uzun kenarı x

olan dikdörtgenin alanını ve çevresini bulunuz.

Dikdörtgenin alanı demek kısa kenarı ile uzun kenarını çarparız.
A=x.x2

A=x3

Dikdörtgenin çevresi demek bütün kenarlarını toplarız.
Ç==X+x2+X+x2

Ç=2x2+2X

10) Kısa kenarı 3, uzun kenarı 2x

olan dikdörtgenin alanını ve çevresini bulunuz.

Dikdörtgenin alanı demek kısa kenarı ile uzun kenarını çarparız.
A=3.2x2

A=6x2

Dikdörtgenin çevresi demek bütün kenarlarını toplarız.

Ç==3+2x2+3+2x2

Ç=4x2+6

11) Aşağıdaki cebirsel ifadeleri en sade şekilde yazınız.

a) m2-m+m2+m = 2m2

b) 2x2-3x-5x-4x2+8 = -2x2-8x+8

c) x2– (x-1)2+x = x2x2+2x-1+x = 3x-1

d) (x-1)2+(x+2)2=(x2-2x+1)+(x2+4x+4)

(x-1)2+(x+2)2= x2-2x+1+x2+4x+4

(x-1)2+(x+2)2= 2x2+2x+5

İki Bilinmeyenli Denklem Sistemlerini Çözme Yöntemleri

İki bilinmeyenli denklem sistemlerinde, sistemdeki iki denklemin örnekteki gibi aynı anda sağlanması beklenir.

Soru: 2 x + y = 1
6 x – 2 y = 13

1. Çarpma işlemi yaparak x veya y’nin katsayılarını birbirine eşitleyelim.

2 x + y = 1 (2 ile çarpın)

Birinci denklemde eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarparsak;

4 x + 2 y = 2

Elde ederiz.
İkinci denklemi aynen alırız. 6 x – 2 y = 13

2. Seçilen terimi taraf tarafa toplayarak veya çıkartarak yok edelim.

4 x + 2 y = 2
6 x – 2 y = 13
______________

10 x = 15 (Burada y’li ifadeleri toplarsak sıfır buluruz.)

Devamını Oku »

CEBİRSEL İFADELER

Cebirsel İfade : İçinde her bilimeyen bulunan ifadeye ‘cebirsel ifade’ denir.

Örnek : Bir sayının 3 eksiği

Çözüm : ‘bir sayının’ , hangi sayı olduğu bilinmediği için , ‘bir sayıyı’ temsil eden bir değişken seçelim.Bu değişken herhangi bir sembol veya harf olabilir.’a’ harfi ‘bir sayıyı’ temsil eden değişken olarak seçerek ‘bir sayının 3 eksiği’

a-3 cebirsel ifadesiyle gösterilir.

Buna göre ; örneğin sayımız 5 ise 3 eksiği a-3 / 5-3=2,

Sayımız 12 ise 3 eksiği a-3 / 12-3=9 olur.
Devamını Oku »

Cebir – Cebirsel İfadeleri Sadeleştirme

Cebirsel İfadeler

+ veya – işaretleri ile birbirinden ayrılan harflere ifade denir.

3p + 2t bir cebirsel ifadedir.

3p ve 2t bu ifadeninterimleridir.

Aynı harf ile gösterilenler aynı terimlerdir.

Toplama ve Çıkarma İçin Kurallar

İfadeler, aynı terimleri toplamak veya çıkarmak koşuluyla sadeleştirilebilirler.

İfadelerin nasıl sadeleştirildiğini inceleyin:

t + t + t = 3t
3t – t = 2t
4p + 3p = 7p
pq + pq = 2pq
q 2 +q 2 = 2q 2

Bu ifadelerde terimler aynı olduğu için sadeleştirme yapılabildi. (Not: kuvvetleri de aynı olmak zorunda).

Aşağıdaki ifadelerde terimler aynı olmadığı için basitleştirme yapılamaz :

3y + 2t = 3y + 2t
4y + 3 = 4y +3
y 2 + y 3= y 2 +y 3
5x – 3y = 5x – 3y
Devamını Oku »

Mutlak Değer ve Sıralama

1. a=4/5 , b = 7/9 , c = 9/13 ise a,b,c sayılarının sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?

A) a
D) c

2. -c<0

A) b+c<0 B) -bc<0 C) (-c/a)<0
D) ab>0 E) (b/a)>0

3. a,b,c Reel sayılar, c<-c , bc<0 , (ab)5.c2<0 dır. a=3c ise, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
Devamını Oku »


Bedava İlan Verme