Ders Anlatım Eğitim Blogu,Öss,Sbs,Dersler

fizik, kimya, biyoloji, ingilizce, öss, sbs, öğretmenler

A. TANIM

a ¹ 0 ve a, b, c Î IR olmak üzere, f : IR ® IR tanımlanan f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar denir.

İkinci dereceden fonksiyonun analitik düzlemdeki görüntüsüne parabol denir.

Parabol, düzgün tel parça-sının uçlarından tutularak bükülmesiyle oluşan, yandaki gibi kolları yukarıya doğru ya da aşağıya doğru olan bir eğridir.

B. PARABOLÜN TEPE NOKTASI

1) f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası

T(r, k) olmak üzere,

Ü Parabol doğrusuna göre simetriktir.

doğrusu parabolün simetri eksenidir.

y = a(x – r)2 + k fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r, k) dır.

C. GRAFİĞİN EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR

Parabolün Ox eksenini kestiği noktalar A ve B, Oy eksenini kestiği nokta C olsun.

ax2 + bx + c = 0 ın kökleri x1 ve x2 ise A(x1, 0), B(x2, 0), C(0, c) dir.

Ü ax2 + bx + c = 0 denkleminde

D = b2 – 4ac > 0 ise, parabol Ox eksenini farklı iki noktada keser.
D = b2 – 4ac < 0 ise, parabol Ox eksenini kesmez. D = b2 – 4ac = 0 ise, parabol Ox eksenine teğettir. D. x2 NİN KATSAYISI OLAN a NIN İŞARETİ 1) a>0 ise parabolün kolları yukarı doğru olup,f(x),in en küçük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

2) a < 0 ise, parabolün kolları aşağı doğru olup, f(x) in en büyük değeri tepe noktası-nın ordinatı olan k dır. .a>0 ise parabolün kolları aşağı doğru olup f(fx) in en büyük değeri tepe noktasının ortinatı olan k dır.

3) |a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre, yandaki parabollere göre, f deki x2 nin katsayısı, g deki x2 nin katsayısından büyüktür.

|a| büyüdükçe kollar daralır. Buna göre , yandaki parabollere göre ,f deki x2 nin katsayısı g deki x2 nin katsayısından büyüktür

f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğini çizmek için,

1) Fonksiyonun tepe noktası bulunur.

2) Fonksiyonun eksenleri kestiği noktalar bulunur.

3) a nın işaretine bakılarak parabolün kollarının yönü belirlenir.

E. GRAFİĞİ VERİLEN PARABOLÜN DENKLEMİNİN YAZILMASI

1. Parabolün Ox Eksenini Kestiği Noktalar Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – x1) (x – x2) … (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

2. Parabolün Tepe Noktası Biliniyorsa

y = f(x) = a(x – r)2 + k … (1) dir.

Burada a değerini bulmak için, parabol üzerindeki herhangi bir noktanın değerleri (1) de yazılır.

3. Parabolün Geçtiği Üç Nokta Biliniyorsa

y1 = ax12 + bx1 + c … (1)

y2 = ax22 + bx2 + c … (2)

y3 = ax32 + bx3 + c … (3)

Bu üç denklemi ortak çözerek a, b, c yi buluruz.

F. PARABOL İLE DOĞRUNUN DÜZLEMDEKİ DURUMU

y = f(x) = ax2 + bx + c parabolü ile y = g(x) = mx + n doğrusunu ortak çözelim.

f(x) = g(x)

ax2 + bx + c = mx + n

ax2 + (b – m)x + c – n = 0 … (*)

(*) denkleminin kökleri (varsa) doğru ile parabolün kesiştiği noktaların apsisleridir.

Buna göre, (*) denkleminde;

D > 0 ise, parabol doğruyu farklı iki noktada keser.
D< 0 ise, parabol ile doğru kesişmez. D = 0 ise, parabol doğruya teğettir. Ü y = ax2 + bx + c parabolü ile y = dx2 + ex + f parabolünün düzlemdeki durumu incelenirken yukarıdakine benzer biçimde işlemler yapılır.

B. OLASILIK TERİMLERİ

Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (v.b) tesbit etme işlemine deney denir.

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir.

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta denir.

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir.

Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir.

Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin) olay denir.

A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun.

A Ç B = Æ

ise, A ve B olayına ayrık olay denir.

C. OLASILIK FONKSİYONU

E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun.

P : K ® [0, 1]

biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir. A Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı denir.

Ü 1) Her A Î K için, 0 £ P(A) £ 1 dir. Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır.

2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin olayın olasılığı 1 dir.

3) A, B Î K ve A Ç B = Æ ise,

P(A È B) = P(A) + P(B) dir.

Ü 1)

2) A Ì B ise P(A) £ P(B) dir.

3) A, A nın tümleyeni olmak üzere,

P(A) + P(–A) = 1 dir.

4) P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A Ç B)

5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer ayrık bütün olayları ise,

(E = A È B È C)

P(A) + P(B) + P© = 1 dir.

Ü 1) n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n
dir.

Ü 2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6n dir.

D. BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR

Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir.

Ü A ve B bağımsız iki olay olsun. A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı :

P(A Ç B) = P(A) . P(B) dir.

E. KOŞULLU OLASILIK

A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir.

S.1) a = sin 5°
b = sin 85°
c = sin 105° olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur.

A) a 0 dır.

Çözüm :

cos2 x + cos 2x = sin2 x + sin 2x
cos2 x – sin2 x + cos 2x = sin 2x

cos 2x

2 cos 2x = sin 2x………………………………..(I)
2 =

tan 2x = 2 …………………………………………(I I)

…………………………………….(III)

Buna göre, tan2 x + tan x – 1 = 0 dır.

tan2 x + tan x – 1 = 0 tan x = dir. 0°

A. SAYI BASAMAGI

Bir sayiyi olusturan rakamlardan her birine bu sayinin basamagi denir.
Bir dogal sayida kaç tane rakam varsa sayi o kadar basamaklidir. 243 üç basamakli bir sayidir.
B. ÇÖZÜMLEME

Dogal sayiyi olusturan rakamlarin bulundugu yerdeki degerine basamak degeri denir.
Basamak degerlerinin toplamina o sayinin çözümlenmis biçimi denir.
a b c = 103 . a + 10 . b + c
| | |
| | |
| | | 100 lar (birler) basamagi
| |
| | 101 ler (onlar) basamagi
|
| 102 ler (yüzler) basamagi
ab = 10 . a + b
abc = 100 . a + 10 . b + c
aaa = 111 . a
ab + ba = 11 . (a + b)
ab – ba = 9 . (a – b)
abc – cba = 99 . (a – c)
C. TABAN

Bir sayi sisteminde sayinin basamak degerlerini göstermek için kullanilan düzene taban denir.
T taban olmak üzere,
(abcd)T = a . T3 + b . T2 + c . T + d dir.
Burada,
T, 1 den büyük dogal sayidir.
a, b, c, d rakamlari T den küçüktür.
Taban belirtmeden kullandigimiz sayilar 10 luk tabana göredir.
(abc, de)T = a . T 2 + b . T + c + d . T – 1 + e . T – 2 dir.
1. Onluk Tabanda Verilen Sayinin Herhangi Bir Tabana Çevrilmesi
Onluk tabanda verilen sayi, hangi tabana çevrilmek isteniyorsa, o tabana bölünür. Bölüm tekrar tabana bölünür. Bu isleme bölüm 0 olana kadar devam edilir.
Ardisik olarak yapilan bu bölmelerden kalanlar sondan baslayarak (ilk kalan son rakam olacak sekilde) siralanmasiyla istenen sayi olusturulur.
2. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayinin 10 luk Tabana Çevrilmesi
Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçirilirken verilen sayi, ait oldugu tabana göre çözümlenir.
3. Herhangi Bir Tabanda Verilen Sayinin Baska Bir Tabanda Yazilmasi
Herhangi bir tabanda verilen sayi önce 10 tabanina çevrilir. Bulunan deger istenen tabana dönüstürülür.
4. Taban Aritmetiginde Toplama, Çikarma, Çarpma Islemleri
Degisik tabanlarda yapilacak islemler 10 luk sistemdekine benzer biçimde yapilir.
T tabaninda verilen sayilarda toplama ve çarpma islemleri bilinen cebirsel islem gibi yapilir, ancak sonuç T den büyük çikarsa içinden T ler atilip kalan alinir. Atilan T adedi elde olarak bir sonraki basamaga ilave edilir.
Çikarma islemi yapilirken 10 luk sistemdekine benzer biçimde, bir soldaki basamaktan 1 (bir) almak gerektiginde, bu 1 in aktarildigi basamaga katkisi tabanin sayi degeri kadardir. Fakat alindigi basamaktaki rakam 1 azalir.

2 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 2 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod2) olmali
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0
10 º 0(mod2) olduguna göre “n∈N için 10n º 0 (mod2)
x º 0+0+0+ . . . +a0 º 0 (mod2) olmali.

Demek ki a0 º 0(mod2) olmali.

O halde son basamaktaki sayi çift olmalidir.

3 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 3 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod3) olmali
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . . +a1.101+a0
10 º1 (mod3) olduguna göre “n∈N için 10n º 1(mod3)
x º an.1+an-1.1+ . . . +a.1+a0 º 0 (mod3) olmali

Demek ki an+an-1+an-2+ . . . +a1+a0 º 0 (mod3) olmali

O halde rakamlarinin toplami 3 ün kati olmalidir.

4 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 4 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a2.102+a1.101+a0 º0 (mod4) olmali

101 º 2 (mod4)
102 º 0 (mod4)
103 º 0 (mod4)
104 º 0 (mod4)

O halde
x º an.0+an-1.0+ . . . +a2.0+a1.10+a0 º 0 (mod4)
a1.10+a0 º 0 (mod4) olmali

O halde sayinin son iki basamagindaki sayi 4 ile tam bölünebilmelidir.

5 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . .a0 sayisinin 5 ile tam bölünebilmesi için
x º 0 (mod5) olmali
x = an.10n+an-1.10n-1+an-2.10n-2+ . . .+a1.101+a0
10 º 0 (mod5) olduguna göre “n∈N için 10n º 0(mod5)
x º an.0+an-1.0+ . . . +a1.0+a0 º 0 (mod5) olmali
a0 º (mod5)

O halde son basamaktaki sayi 0 ya da 5 olmalidir.

6 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayisinin 6 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod6) olmali
6 = 2 . 3 olduguna göre x º 0 (mod6) ise
x º 0 (mod2) ve x º 0 (mod3) olmalidir.

O halde hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilme kuralini birlikte saglamalidir.

7 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . .a1a0 sayisinin 7 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod7)

101 º 3 (mod7)
102 º 2 (mod7)
103 º 6 º -1 (mod7)
104 º-3 (mod7)
105 º-2 (mod7)
106 º 1 (mod7)

x = . . . +a6.(1) + a5.(-2)+a4.(-3) + a3.(-1) + a2.2+a1.3+a0 = 0 (mod7)

+ – +

O halde sayinin basamaklarinin sagdan sola dogru 3’er 3’er grupladiktan sonra her grup sirasiyla birer birer yada (-) isaretleri koyulduktan sonra sagdan sola dogru her basamaktaki sayiyi sirasiyla isaretleri ve “1”,”3” ve “2” sayilariyla çarptiktan sonra bulunan toplam sayi 7’nin kati olmalidir.

8 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 8 ile tam bölünebilmesi için
x º 0(mod8) olmali
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0(mod8) olmali

101 º 2 (mod8)
102 º 4 (mod8)
103 º 0 (mod8) “n∈N+ ve n ³ 3 için 10n º 0 (mod8)
104 º 0 (mod8)

x = an.0+an-1.0+ . . . + a3.0+a2.102+a1.10+a0 º 0 (mod8) olmali
a2.102+a1.10+a0 = a2a1a0 º 0 (mod8) olmali

O halde son 3 basamagindaki sayi 8 in kati olmalidir.

9 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 9 ile tam bölünebilmesi için
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0 º 0 (mod9) olmali.
10 º 1(mod9) “n∈N için 10n º 1(mod9)

x = an.1+an-1.1+an-2.1+ . . . +a1.1+a0 º 0 (mod9) olur
an+an-1+an-2+ . . . a1+a0 º 0 (mod9) olur.

O halde sayinin rakamlarinin toplami 9’un kati olmalidir.

11 Ile Bölünebilme

x = anan-1an-2 . . . a0 sayisinin 11 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod11) olmali
x = an.10n+an-1.10n-1+ . . . +a3.103+a2.102+a1.101+a0

101 º -1 (mod11)
102 =100 º 1 (mod11)
103 º-1 (mod11)
104 º 1 (mod11)
105 º-1 (mod11)
106 º 1 (mod11)

x = an.(1)+an-1.(-1)+an-2.(1)+ . . . +a2.(1)+a1.(-1)+a0
an-an-1+an-2+ . . . +a2-a1+a0 º 0 (mod11)

O halde sayinin rakamlari sagdan sola dogru (+1) ve (-1) ile çarparak toplandiginda bulunan sayi 11’in kati olmalidir.

21 Ile Bölünebilme

21 = 3 . 7
Hem 3 hem de 7 ile bölünebilme kurallarini birlikte saglamalidir.


bursa evden eve nakliyat
Bedava İlan Verme