Bilindiði gibi, bütün sayýlarýn karesi pozitif bir sayýdýr. Buna benzer olarak da, pozitif sayýlarýn reel bir karekökü vardýr. Yani örneðin, 9 sayýsýnýn karekökü 3 sayýsýdýr. Çünkü 3 x 3 = 9’dur. Benzer biçimde
16’nýn karekökü 4’dür. Bilinen tüm pozitif sayýlarýn karekökü vardýr. Peki negatif bir sayýnýn karekökü varmýdýr? Varsa hesaplanabilir mi? Bu sorunun yanýtý, negatif sayýlarýn karekökü vardýr olacaktýr. Bir
negatif sayýnýn karekökü bir sanal sayýdýr.

Görünüþte anlamsýz olan eksi bir sayýnýn karekökünü alan bir formülü, kaðýt üzerinde ilk olarak, Ýtalyan matematikçi Cardan yazmýþtýr. 10 sayýsýnýn, çarpýmlarý kýrk olan iki parçaya ayrýlmasý olasýlýðý araþtýrýlýrken,
bu problemin ussal bir çözümü olmamasýna karþýn olanaksýz sayýlan iki anlatým biçiminde bir yanýt elde edilebileceðini gösterdi:

olduðunu gösterdi. Cardan, bu gösterimi çekine çekine yapmýþ, onlarý sanal ve anlamsýz bulduðunu bildirmiþti. Ancak bu gösterim, eksi sayýlarýn kareköklerinin yazýlmasýna cesaret edilmesinin ilk örneðidir.
Bu çalýþmanýn ardýndan, matematik dünyasýnda karmaþýk sayýlar sýklýkla kullanýlmaya baþlanmýþtýr.

Ünlü Alman matematikçi Leonard Euler, 1970’de yayýmlanan “Cebir” kitabýnda sanal sayýlarýn geniþ uygulanýþý bulunuyor. Euler, bu sayýlarla ilgili olarak, “bu sayýlar gerçek deðillerdir, sanaldýrlar, ne sýfýrdan
küçük ne de büyüktür.” demiþtir.

Denilebilir ki, sanal sayýlar ailesi olaðan ya da gerçek sayýlarýn aynadaki görüntüleridirler ve gerçek sayýlarda olduðu gibi birden baþlayýp, bütünüyle ayný yoldan, yani sanal sayýlar birimiyle ve genelde i
simgesiyle gösterilir.
Ýlk kez Cardan tarafýndan yapýldýðý gibi, gerçek bir sayý ile sanal bir sayý, tek bir terim oluþturmak için birleþtirilebilir. Bu sayýlar, karmaþýk sayý olarak bilinir. Sanal sayýlar matematik alanýna girdikten sonra,
biri Wessel adýnda Norveç’li bir topograf, öteki Robert Argand adýnda Paris’li bir muhasebeci olan iki amatör matematikçi tarafýndan yalýn geometrik bir yorum yapýlýncaya kadar, yaklaþýk iki yüzyýl, bir anlaþmazlýk
ve giz perdesi altýnda kaldý.

Wessel ve Argand’ýn açýklamalarýnda, 3 + 4i biçimindeki bir karmaþýk sayýda (þekilde) 3, yatay uzaklýðý, yani apsisi, 4 düþey uzaklýðý, yani ordinatý göstermektedir.

Gerçekten de bütün olaðan gerçek sayýlar (eksi ya da artý), yatay eksen üzerinde kendilerine karþýlýk olan noktalara, öte yandan bütünüyle sanal olan sayýlar da düþey üzerindeki noktalarla gösterilebilirler.
Yatay eksen üzerinde gösterilebilen bir gerçek sayýyý, örneðin 3’ü, sanal birim olan i ile çarptýðýmýz zaman bütünüyle 3i sayýsýný elde ederiz ki bu, düþey eksen üzerinde gösterilebilir. Bundan böyle i ile çarpmak
, geometrik olarak saat yelkovanýnýn tersi yönde bir dik açý kadar dönmeye eþdeðerdir.

Þimdi bir kez daha 3i ile çarparsak bir ’lik dönüþ daha yapmamýz gerekir ki bu kez sonuç olarak yeniden yatay eksen üzerine ama eksi yana geliriz. Bu nedenle:
Böylece görüyoruz ki “ i’nin karesi eþittir –1 “ anlatýmý, “ iki kez dik açýlý bir dönüþ ile eksi yana geliriz” anlatýmýndan daha iyi anlaþýlabilir.
Kuþkusuz, ayný kural karmaþýk sayýlar için de doðrudur. 3 + 4i ‘yi i ile çarparsak: elde ederiz.
Þekilde de görüldüðü gibi -4+3i ye karþýlýk olan nokta 3+4i ye karþýlýk olan noktanýn baþlangýç noktasý çevresinde dönmesiyle elde edilen noktaya uymaktadýr. Bunun gibi –i ile çarpým da yine þekilde
görülebileceði gibi baþlangýç noktasý çevresinde ama bu kez saat yelkovaný yönünde bir dönüþten baþka birþey deðildir.

Sanal sayýlarý saran giz perdesini ortadan kaldýrmak için aþaðýdaki probleme bir göz atalým:

Macera sever genç bir adam, büyükbabasýnýn babasýndan kalma belgeler arasýnda, gizli gömünün yerini gösteren bir kaðýt bulur. Taným þöyledir: “…derece kuzey enlemine ve …derece batý boylamýna
yelken aç, býrakýlmýþ bir ada bulacaksýn. Adanýn kuzey kýyýlarýnda çevresi kapalý olmayan bir çayýr, bu çayýrda tek baþýna duran bir meþe bir de çam aðacý vardýr. Orada bir de hainleri astýðýmýz bir daraðacý
göreceksin. Daraðacýndan baþlayýp meþe aðacýndan doðru adýmlarýný sayarak gel, meþe aðacýndan bir dik açý kadar saða dön, ayný sayýda adýmla ilerle, orada yere bir kazýk çak. Buradan yine daraðacýna
gel bu kez çam aðacýna doðru adýmlarýný sayarak ilerle, çam aðacýna gelince bir dik açý kadar sola dön ve bu yönde önce saydýðýn adýmlar kadar ilerle, burada da yere bir kazýk çak. Bu iki kazýk arasýnýn
ortasýný bul, gömü oradadýr.”

Bu taným oldukça açýk ve kesindi; genç adam bir gemi kiralayýp kuzey denizlerine açýldý. Adayý, çayýrý, meþe ve çam aðacýný buldu. Ama eski daraðacý kaybolmuþtu. Bu tezkere yazýldýðýndan bu yana çok
zaman geçmiþ olduðu için yaðmur, güneþ ve rüzgar onu yýkmýþ, önceki yerinde iz býrakmayacak þekilde topraða karýþtýrýp yok etmiþti.

Maceracý genç umutsuzluða düþüp çýlgýnca bir öfkeyle bütün çayýrý rastgele kazmaya baþladý. Ama bütün çabalarý boþa gitti; ada çok büyüktü. O yüzden eli boþ döndü. Büyük bir olasýlýkla gömü belki
hemen oracýktaydý.

Acýklý bir öykü, ama daha acýklý olan, bu gencin biraz matematik, özellikle de sanal sayýlarý kullanmayý bilmesinin bu gömüyü bulmasýna yetecek olmasýdýr. Adayý, bir karmaþýk sayýlar düzlemi olarak düþünelim.
Ýki aðacýn dibinden geçen bir eksen (gerçek eksen) ile bu uzaklýðýn ortasýndan geçen baþka bir ekseni çizelim.

Bu iki aðaç arasýndaki uzaklýðýn yarýsýný birim olarak alýrsak meþe aðacý gerçek eksende +1 ve çam aðacý –1 noktalarýnda bulunuyor diyebiliriz. Daraðacýnýn yerini bilmediðimize göre bunun bilinmeyen
yerinin de daraðacýna benzemesi nedeniyle bunu harfiyle gösterelim. (Eski Yunan alfabesi) Daraðacýnýn kesinlikle eksenlerin biri üzerinde bulunmasý gerekli olmadýðýna göre bir karmaþýk sayý olarak düþünülebilir.
olup a ile b nin anlamlarý þekilde açýklanmýþtýr.

Yukarýda sözü edilen sanal sayýlarýn çarpým kurallarýný anýmsayarak basit birkaç hesaplama yapabiliriz. Daraðacý ve meþe –1 noktalarýnda iseler aralarýndaki uzaklýk ve yön biçiminde gösterilebilir.
Bunun gibi, daraðacý ile çam arasýndaki uzaklýk da ile gösterilebilir. Bu iki uzaklýðý önce saat yelkovaný yönünde bir dik açý kadar döndürdükten sonra saat yelkovanýna ters yönde yine bir dik açý kadar
döndürmek demek, yukarýdaki kurala göre –i ve i ile çarpmak demektir. Öyleyse kazýklarýn çakýlacaðý noktalar þöyle bulunur:

Birinci kazýk:

Ýkincþ kazýk:

Gömü, iki kazýk arasýndaki uzaklýðýn ortasýnda olduðundan, bu iki karmaþýk sayý toplamýnýn yarýsýný bulmalýyýz. Buradan þunu elde ederiz:

elde ederiz.

Þimdi ile belirtilen daraðacýnýn bilinmeyen yeri hesaplarýmýz sýrasýnda ortada kalkýyor ve daraðacý nerede olursa olsun gömünün +i noktasýnda olmasý gerekiyor.

Macera sever genç adam bu yalýn matematik iþlemini yapabilseydi bütün adayý kazmak zorunda kalmayacak, yalnýzca þekilde X ile gösterilen noktayý kazýp gömüyü bulacaktý.